Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1598 1599 1600 1601 1602 1603 1604 >> [Всего задач: 8157]

Задача 107841

Темы:	[	Инварианты	]
	[	Производная в точке	]
	[	Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов	]
	[	Комплексные числа помогают решить задачу	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Автор: Евдокимов М.А.

На доске написаны три функции: f₁(x) = x + ¹/_x, f₂(x) = x², f₃(x) = (x – 1)². Можно складывать, вычитать и перемножать эти функции (в том числе возводить в квадрат, в куб, ...), умножать их на произвольное число, прибавлять к ним произвольное число, а также проделывать эти операции с полученными выражениями. Получите таким образом функцию ¹/_x.
Докажите, что если стереть с доски любую из функций f₁, f₂, f₃, то получить ¹/_x невозможно.

Прислать комментарий

Решение

Задача 107844

Темы:	[	Покрытия	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Вспомогательные проекции	]
	[	Геометрические неравенства (прочее)	]
	[	Параллельный перенос (прочее)	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Смуров М.В.

На плоскости дано конечное число полос, сумма ширин которых равна 100, и круг радиуса 1.
Докажите, что каждую из полос можно параллельно перенести так, чтобы все они вместе покрыли круг.

Прислать комментарий

Решение

Задача 107861

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Поворот (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Шень А.Х.

На пол положили правильный треугольник ABC, выпиленный из фанеры. В пол вбили три гвоздя (по одному вплотную к каждой стороне треугольника) так, что треугольник невозможно повернуть, не отрывая от пола. Первый гвоздь делит сторону AB в отношении 1 : 3, считая от вершины A, второй делит сторону BC в отношении 2 : 1, считая от вершины B. В каком отношении делит сторону AC третий гвоздь?

Прислать комментарий Решение

Задача 107862

Темы:	[	Задачи с ограничениями	]
	[	Вспомогательная раскраска (прочее)	]
	[	Обратный ход	]
	[	Перестановки и подстановки (прочее)	]
	[	Правило произведения	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Авторы: Канель-Белов А.Я., Макаров М.А.

Натуральные числа от 1 до n расставляются в ряд в произвольном порядке. Расстановка называется плохой, если в ней можно отметить 10 чисел (не обязательно стоящих подряд), идущих в порядке убывания. Остальные расстановки называются хорошими. Докажите, что количество хороших расстановок не превосходит 81ⁿ.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108218

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
	[	Углы между биссектрисами	]
	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Емельянов Л.А.

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD , и проведены биссектрисы l_A , l_B , l_C , l_D внешних углов этого четырёхугольника. Прямые l_A и l_B пересекаются в точке K , прямые l_B и l_C – в точке L , прямые l_C и l_D – в точке M , прямые l_D и l_A – в точке N . Докажите, что если окружности, описанные около треугольников ABK и CDM , касаются внешним образом, то и окружности, описанные около треугольников BCL и DAN , касаются внешним образом.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1598 1599 1600 1601 1602 1603 1604 >> [Всего задач: 8157]