ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      



Задача 108199  (#94.4.9.6)

Темы:   [ Окружность, вписанная в угол ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Внутри прямого угла KLM взята точка P. Окружность S1 с центром O1 касается сторон LK и LP угла KLP в точках A и D соответственно, а окружность S2 с центром O2 такого же радиуса касается сторон угла MLP, причём стороны LP – в точке B. Оказалось, что точка O1 лежит на отрезке AB. Пусть C – точка пересечения прямых O2D и KL. Докажите, что BC – биссектриса угла ABD.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109594  (#94.4.9.7)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Перебор случаев ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Найдите все такие простые числа p, q, r и s, что их сумма – простое число. а числа  p² + qs  и  p² + qr  – квадраты натуральных чисел. (Числа p, q, r и s предполагаются различными.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 109595  (#94.4.9.8)

Темы:   [ Объединение, пересечение и разность множеств ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Таблицы и турниры (прочее) ]
[ Двоичная система счисления ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10

В классе 16 учеников. Каждый месяц учитель делит класс на две группы.
Какое наименьшее количество месяцев должно пройти, чтобы каждые два ученика в какой-то из месяцев оказались в разных группах?

Прислать комментарий     Решение

Задача 109580  (#94.4.10.1)

Темы:   [ Обыкновенные дроби ]
[ Инварианты ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Процессы и операции ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10

Имеется семь стаканов с водой: первый стакан заполнен водой наполовину, второй – на треть, третий – на четверть, четвёртый – на ⅕, пятый – на ⅛, шестой – на 1/9, и седьмой – на 1/10. Разрешается переливать всю воду из одного стакана в другой или переливать воду из одного стакана в другой до тех пор, пока он не заполнится доверху. Может ли после нескольких переливаний какой-нибудь стакан оказаться заполненным   а) на 1/12;   б) на ⅙?

Прислать комментарий     Решение

Задача 109581  (#94.4.10.2)

Темы:   [ Возвратные уравнения ]
[ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Уравнение  x² + ax + b = 0  имеет два различных действительных корня.
Докажите, что уравнение  x4 + ax³ + (b – 2)x² – ax + 1 = 0  имеет четыре различных действительных корня.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .