ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



Задача 109670  (#98.5.10.3)

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

Проведем через основание биссектрисы угла A разностороннего треугольника ABC отличную от стороны BC касательную к вписанной в треугольник окружности. Точку ее касания с окружностью обозначим через Ka . Аналогично построим точки Kb и Kc . Докажите, что три прямые, соединяющие точки Ka , Kb и Kc с серединами сторон BC , CA и AB соответственно, имеют общую точку, причем эта точка лежит на вписанной окружности.
Прислать комментарий     Решение


Задача 109671  (#98.5.10.4)

Темы:   [ Объединение, пересечение и разность множеств ]
[ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Часть подмножеств некоторого конечного множества выделена. Каждое выделенное подмножество состоит в точности из 2k элементов ( k – фиксированное натуральное число). Известно, что в каждом подмножестве, состоящем не более чем из (k+1)2 элементов, либо не содержится ни одного выделенного подмножества, либо все в нем содержащиеся выделенные подмножества имеют общий элемент. Докажите, что все выделенные подмножества имеют общий элемент.
Прислать комментарий     Решение


Задача 109672  (#98.5.10.5)

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Полуинварианты ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

С числом разрешается проводить одно из двух действий: возводить в квадрат или прибавлять единицу. Даны числа 19 и 98 . Можно ли из них за одно и то же количество действий получить равные числа?
Прислать комментарий     Решение


Задача 109673  (#98.5.10.6)

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10

На множестве действительных чисел задана операция * , которая каждым двум числам a и b ставит в соответствие число a*b . Известно, что равенство (a*b)*c=a+b+c выполняется для любых трех чисел a , b и c . Докажите, что a*b=a+b .
Прислать комментарий     Решение


Задача 109674  (#98.5.10.7)

Темы:   [ Эйлерова характеристика ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Выпуклые многоугольники ]
Сложность: 6
Классы: 10,11

Автор: Мусин О.

Дан выпуклый n -угольник ( n>3 ), никакие четыре вершины которого не лежат на одной окружности. Окружность, проходящую через три вершины многоугольника и содержащую внутри себя остальные его вершины, назовем описанной. Описанную окружность назовем граничной, если она проходит через три последовательные (соседние) вершины многоугольника; описанную окружность назовем внутренней, если она проходит через три вершины, никакие две из которых не являются соседними вершинами многоугольника. Докажите, что граничных описанных окружностей на две больше, чем внутренних.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .