Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
Задача
109670
(#98.5.10.3)
|
|
Сложность: 6-
Классы: 9,10,11
|
Проведем через основание биссектрисы угла A разностороннего треугольника
ABC отличную от стороны BC касательную к вписанной в
треугольник окружности. Точку ее касания с окружностью
обозначим через Ka . Аналогично построим точки Kb
и Kc . Докажите, что три прямые, соединяющие точки Ka ,
Kb и Kc с серединами сторон BC , CA и AB соответственно,
имеют общую точку, причем эта точка лежит на вписанной окружности.
Задача
109671
(#98.5.10.4)
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
|
Часть подмножеств некоторого конечного множества выделена.
Каждое выделенное подмножество состоит в точности из 2k элементов
( k – фиксированное натуральное число). Известно, что в каждом
подмножестве, состоящем не более чем из (k+1)2 элементов,
либо не содержится ни одного выделенного подмножества, либо все
в нем содержащиеся выделенные подмножества имеют общий элемент.
Докажите, что все выделенные подмножества имеют общий элемент.
Задача
109672
(#98.5.10.5)
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
С числом разрешается проводить одно из двух действий: возводить
в квадрат или прибавлять единицу. Даны числа 19 и 98 . Можно
ли из них за одно и то же количество действий получить равные числа?
Задача
109673
(#98.5.10.6)
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10
|
На множестве действительных чисел задана операция * , которая каждым
двум числам a и b ставит в соответствие число a*b .
Известно, что равенство (a*b)*c=a+b+c выполняется для любых
трех чисел a , b и c . Докажите, что a*b=a+b .
Задача
109674
(#98.5.10.7)
|
|
Сложность: 6
Классы: 10,11
|
Дан выпуклый n -угольник ( n>3 ), никакие четыре вершины которого не
лежат на одной окружности. Окружность, проходящую через три
вершины многоугольника и содержащую внутри себя остальные его вершины,
назовем описанной. Описанную окружность назовем граничной,
если она проходит через три последовательные (соседние) вершины многоугольника;
описанную окружность назовем внутренней, если она проходит через
три вершины, никакие две из которых не являются соседними
вершинами многоугольника. Докажите, что граничных описанных
окружностей на две больше, чем внутренних.
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
Фильтр
