ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      



Задача 109664  (#98.5.11.5)

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Касающиеся окружности ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Индукция в геометрии ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Внутри параболы  y = x²  расположены несовпадающие окружности ω1, ω2, ω3, ... так, что при каждом n > 1 окружность ωn касается ветвей параболы и внешним образом окружности ωn–1 (см. рис.). Найдите радиус окружности σ1998, если известно, что диаметр ω1 равен 1 и она касается параболы в её вершине.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109665  (#98.5.11.6)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Возвратные уравнения ]
[ Процессы и операции ]
Сложность: 5-
Классы: 7,8,9,10,11

Существуют ли 1998 различных натуральных чисел, произведение каждых двух из которых делится нацело на квадрат их разности?

Прислать комментарий     Решение

Задача 109666  (#98.5.11.7)

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Сфера, вписанная в тетраэдр ]
[ Метод ГМТ в пространстве ]
[ Длины и периметры (геометрические неравенства) ]
Сложность: 5+
Классы: 10,11

Автор: Карасев Р.

В тетраэдр ABCD , длины всех ребер которого не более 100, можно поместить две непересекающиеся сферы диаметра 1. Докажите, что в него можно поместить одну сферу диаметра 1,01.
Прислать комментарий     Решение


Задача 109667  (#98.5.11.8)

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Непрерывность и компактность ]
Сложность: 6
Классы: 10,11

Клетчатая фигура Ф обладает таким свойством: при любом заполнении клеток прямоугольника m×n числами, сумма которых положительна, фигуру Ф можно так расположить в прямоугольнике, чтобы сумма чисел в клетках прямоугольника, накрытых фигурой Ф, была положительна (фигуру Ф можно поворачивать). Докажите, что данный прямоугольник может быть покрыт фигурой Ф в несколько слоев.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .