Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
Задача
108156
(#99.5.10.3)
|
|
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10
|
Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC , касается
его сторон AB , BC и AC в точках K , L и M
соответственно. К окружностям, вписанным в треугольники
BKL , CLM и AKM проведены попарно общие внешние
касательные, отличные от сторон треугольника ABC .
Докажите, что эти касательные пересекаются в одной точке.
Задача
109694
(#99.5.10.4)
|
|
Сложность: 6
Классы: 9,10,11
|
В квадрате n×n клеток бесконечной шахматной доски расположены
n2 фишек, по одной фишке в каждой клетке. Ходом называется перепрыгивание
любой фишкой через соседнюю по стороне фишку,
непосредственно за которой следует свободная клетка.
При этом фишка, через которую перепрыгнули, с доски снимается. Докажите, что
позиция, в которой дальнейшие ходы невозможны, возникнет не ранее, чем через
[
] ходов.
Задача
109695
(#99.5.10.5)
|
|
Сложность: 4+
Классы: 7,8,9,10
|
Сумма цифр в десятичной записи натурального числа n равна 100, а
сумма цифр числа 44n равна 800. Чему равна сумма цифр числа 3n ?
Задача
108157
(#99.5.10.6)
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9
|
В треугольнике ABC окружность, проходящая через вершины A и B, касается прямой BC, а окружность, проходящая через вершины B и C, касается прямой AB и второй раз пересекает первую окружность в точке K. Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что угол BKO – прямой.
Задача
109697
(#99.5.10.7)
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Для некоторых положительных чисел x и y выполняется неравенство
x² + y³ ≥ x³ + y4. Докажите, что x³ + y³ ≤ 2.
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
Фильтр
