ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 25]      



Задача 115399  (#06.4.11.4)

Темы:   [ Поворот на $90^\circ$ ]
[ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Метод координат на плоскости ]
[ Теория игр (прочее) ]
Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

На плоскости отмечены все точки с целыми координатами  (x,y) такие, что x2+y2 1010 . Двое играют в игру (ходят по очереди). Первым ходом первый игрок ставит фишку в какую-то отмеченную точку и стирает ее. Затем каждым очередным ходом игрок переносит фишку в какую-то другую отмеченную точку и стирает ее. При этом длины ходов должны все время увеличиваться; кроме того, запрещено делать ход из точки в симметричную ей относительно центра. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из играющих может обеспечить себе победу, как бы ни играл его соперник?
Прислать комментарий     Решение


Задача 115400  (#06.4.11.5)

Темы:   [ Логарифмические неравенства ]
[ Неравенства. Метод интервалов ]
Сложность: 4-
Классы: 11

Пусть 1<a b c . Докажите, что

log a b+log b c+log c alog b a+log c b+log a c.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115401  (#06.4.11.6)

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

В некоторых клетках доски 10×10 поставили k ладей, и затем отметили все клетки, которые бьёт хотя бы одна ладья (ладья бьёт и клетку, на которой стоит). При каком наибольшем k может оказаться, что после удаления с доски любой ладьи хотя бы одна отмеченная клетка окажется не под боем?

Прислать комментарий     Решение

Задача 115402  (#06.4.11.7)

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD выбраны точки A1 и C1 соответственно. Отрезки AC1 и CA1 пересекаются в точке P . Описанные окружности треугольников  AA1P и CC1P вторично пересекаются в точке Q , лежащей внутри треугольника  ACD . Докажите, что PDA= QBA .
Прислать комментарий     Решение


Задача 115411  (#06.4.11.8)

Темы:   [ Малая теорема Ферма ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Даны натуральные числа x и y из отрезка  [2, 100].  Докажите, что при некотором натуральном n число x2n + y2n  – составное.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 25]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .