ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]      



Задача 115410  (#06.4.10.7)

Темы:   [ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Метод ГМТ ]
[ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

Окружность с центром  I касается сторон  AB , BC , AC неравнобедренного треугольника  ABC в точках C1 , A1 , B1 соответственно. Окружности  ωB и  ωC вписаны в четырехугольники  BA1IC1 и  CA1IB1 соответственно. Докажите, что общая внутренняя касательная к  ωB и  ωC , отличная от  IA1 , проходит через точку  A .
Прислать комментарий     Решение


Задача 115411  (#06.4.10.8)

Темы:   [ Малая теорема Ферма ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Даны натуральные числа x и y из отрезка  [2, 100].  Докажите, что при некотором натуральном n число x2n + y2n  – составное.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115396  (#06.4.11.1)

Темы:   [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Обход графов ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Планарные графы. Формула Эйлера ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

В стране некоторые пары городов соединены дорогами, которые не пересекаются вне городов. В каждом городе установлена табличка, на которой указана минимальная длина маршрута, выходящего из этого города и проходящего по всем остальным городам страны (маршрут может проходить по некоторым городам больше одного раза и не обязан возвращаться в исходный город). Докажите, что любые два числа на табличках отличаются не более чем в полтора раза.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115397  (#06.4.11.2)

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Ограниченность, монотонность ]
[ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Последовательность a1,a2,.. такова, что a1(1,2) и ak+1=ak+ при любом натуральном  k . Докажите, что в ней не может существовать более одной пары членов с целой суммой.
Прислать комментарий     Решение


Задача 115398  (#06.4.11.3)

Темы:   [ Сфера, описанная около тетраэдра ]
[ Теорема о трех перпендикулярах ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
Сложность: 5+
Классы: 10,11

В треугольной пирамиде  ABCD все плоские углы при вершинах — не прямые, а точки пересечения высот в треугольниках  ABC , ABD , ACD лежат на одной прямой. Докажите, что центр описанной сферы пирамиды лежит в плоскости, проходящей через середины ребер  AB , AC , AD .
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .