ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]      



Задача 65042  (#16)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10

Дан треугольник ABC и прямая l. Прямые, симметричные l относительно AB и AC пересекаются в точке A1. Точки B1, C1 определяются аналогично. Докажите, что
  а) прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке;
  б) эта точка лежит на описанной окружности треугольника ABC ;
  в) точки, построенные указанным способом для двух перпендикулярных прямых, диаметрально противоположны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65043  (#17)

Темы:   [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]
[ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ]
[ Против большей стороны лежит больший угол ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

а) Существует ли треугольник, в котором наименьшая медиана длиннее наибольшей биссектрисы?

б) Существует ли треугольник, в котором наименьшая биссектриса длиннее наибольшей высоты?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65044  (#18)

Темы:   [ Плоскость, разрезанная прямыми ]
[ Прямые, лучи, отрезки и углы (прочее) ]
[ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

На плоскости проведены  n > 2  прямых общего положения (то есть никакие две прямые не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке). Эти прямые разрезали плоскость на несколько частей. Какое
  а) наименьшее;
  б) наибольшее
количество углов может быть среди этих частей?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65045  (#19)

Темы:   [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
[ Соображения непрерывности ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Существует ли неравнобедренный треугольник, у которого медиана, проведённая из одной вершины, биссектриса, проведённая из другой, и высота, проведённая из третьей, равны?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65046  (#20)

Темы:   [ Описанные четырехугольники ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Теорема о группировке масс ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Ромбы. Признаки и свойства ]
[ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром I. Точки M и N – середины диагоналей AC и BD.
Докажите, что четырёхугольник ABCD – вписанный тогда и только тогда, когда  IM : AC = IN : BD.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .