ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 25]      



Задача 65047  (#21)

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Проективная геометрия (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

На окружности с диаметром AC выбрана произвольная точка B, отличная от A и C. Пусть M, N – середины хорд AB, BC, а P, Q – середины меньших дуг, стягиваемых этими хордами. Прямые AQ и BC пересекаются в точке K, а прямые CP и AB – в точке L.
Докажите, что прямые MQ, NP и KL пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65048  (#22)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Радикальная ось ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Из вершины C треугольника ABC проведены касательные CX, CY к окружности, проходящей через середины сторон треугольника.
Докажите, что прямые XY, AB и касательная в точке C к описанной окружности треугольника ABC, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65049  (#23)

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
[ Решение задач при помощи аффинных преобразований ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

Дан треугольник ABC и прямая l, пересекающая BC, CA и AB в точках A1, B1 и C1 соответственно. Точка A' – середина отрезка, соединяющего проекции A1 на AB и AC. Аналогично определяются точки B' и C'.
  а) Докажите, что A', B' и C' лежат на некоторой прямой l'.
  б) Докажите, что, если l проходит через центр описанной окружности треугольника ABC, то l' проходит через центр его окружности девяти точек.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65050  (#24)

Темы:   [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ]
[ Треугольник (построения) ]
[ Подерный (педальный) треугольник ]
[ Метод ГМТ ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Дан остроугольный треугольник ABC.
Найдите на сторонах BC, CA, AB такие точки A', B', C', чтобы наибольшая сторона треугольника A'B'C' была минимальна.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65051  (#25)

Темы:   [ Правильный тетраэдр ]
[ Движение помогает решить задачу ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Белухов Н.

Три равных правильных тетраэдра имеют общий центр. Могут ли все грани многогранника, являющегося их пересечением, быть равны?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 25]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .