Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 48]

Задача 66248 (#21)

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Якубов А.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ω с центром O, M₁ и M₂ – середины сторон AB и CD соответственно; Ω – описанная окружность треугольника OM₁M₂, X₁ и X₂ – точки пересечения ω с Ω, а Y₁ и Y₂ – вторые точки пересечения описанных окружностей ω₁ и ω₂ треугольников CDM₁ и ABM₂ соответственно с Ω. Докажите, что X₁X₂ || Y₁Y₂.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66249 (#22)

Темы:	[	Правильные многогранники. Двойственность и взаимосвязи	]
	[	Раскраски	]
	[	Правильный тетраэдр	]
	[	Объем помогает решить задачу	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

Грани икосаэдра окрасили в пять цветов (среди которых есть красный и синий) так, что две грани, окрашенные в один цвет, не имеют общих точек, даже вершин. Докажите, что для любой точки внутри икосаэдра сумма расстояний от нее до красных граней равна сумме расстояний до синих граней.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66250 (#23)

Темы:	[	Тетраэдр (прочее)	]
Темы:	[	Радикальная плоскость	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Ягудин М.

Дан тетраэдр ABCD. В грани ABC и ABD вписаны окружности с центрами O₁, O₂, касающиеся ребра AB в точках T₁, T₂. Плоскость π_AB проходит через середину отрезка T₁T₂ и перпендикулярна O₁O₂. Аналогично определяются плоскости π_AC, π_BC, π_AD, π_BD, π_CD. Докажите, что все эти шесть плоскостей проходят через одну точку.

Прислать комментарий Решение

Задача 66251 (#24)

Темы:	[	Тетраэдр (прочее)	]
	[	Сфера, вписанная в тетраэдр	]
	[	Поворот и винтовое движение	]
	[	Прямые и плоскости в пространстве (прочее)	]
	[	Касательные к сферам	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	ГМТ в пространстве (прочее)	]
	[	Барицентрические координаты	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

В тетраэдр ABCD вписана сфера с центром O, касающаяся его граней BCD, ACD, ABD и ABC в точках A₁, B₁, C₁ и D₁ соответственно.
а) Пусть P_a – такая точка, что точки, симметричные ей относительно прямых OB, OC и OD, лежат в плоскости BCD. Точки P_b, P_c и P_d определяются аналогично. Докажите, что прямые A₁P_a, B₁P_b, C₁P_c и D₁P_d пересекаются в некоторой точке P.
б) Пусть I – центр сферы, вписанной в тетраэдр A₁B₁C₁D₁; A₂ – точка пересечения прямой A₁I с плоскостью B₁C₁D₁; B₂, C₂, D₂ определены аналогично. Докажите, что P лежит внутри тетраэдра A₂B₂C₂D₂.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65360 (#8.1)

Темы:	[	Трапеции (прочее)	]
	[	Признаки равенства прямоугольных треугольников	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Ясинский В.

Пусть ABCD – трапеция, в которой углы A и B прямые, AB = AD, CD = BC + AD, BC < AD.
Докажите, что угол ADC в два раза больше угла ABE, где E – середина AD.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 48]