ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



Задача 65369  (#9.1)

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Мухин Д.

Пусть C – одна из точек пересечения окружностей α и β. Касательная в этой точке к α пересекает β в точке B, а касательная в C к β пересекает α в точке A, причём A и B отличны от C, и угол ACB тупой. Прямая AB вторично пересекает α и β в точках N и M соответственно. Докажите, что  2MN < AB.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65368  (#9.2)

Темы:   [ Метод ГМТ ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Точка Микеля ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Дан выпуклый четырёхугольник. Постройте циркулем и линейкой точку, проекции которой на прямые, содержащие его стороны, являются вершинами параллелограмма.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65370  (#9.3)

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ]
[ Системы отрезков, прямых и окружностей ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Теорема косинусов ]
[ Квадратные неравенства и системы неравенств ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

На плоскости нарисованы 100 кругов, каждые два из которых имеют общую точку (возможно, граничную).
Докажите, что найдётся точка, принадлежащая не менее чем 15 кругам.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65371  (#9.4)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Дан фиксированный треугольник ABC. По его описанной окружности движется точка P так, что хорды BC и AP пересекаются. Прямая AP разрезает треугольник BPC на два меньших, центры вписанных окружностей которых обозначим через I1 и I2 соответственно. Прямая I1I2 пересекает прямую BC в точке Z. Докажите, что все прямые ZP проходят через фиксированную точку.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65372  (#9.5)

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

В неравнобедренном прямоугольном треугольнике ABC точка M – середина гипотенузы AC, точки Ha, Hc – ортоцентры треугольников ABM, CBM соответственно. Докажите, что прямые AHc, CHa пересекаются на средней линии треугольника ABC.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .