Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]

Задача 66939

Темы:	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Швецов Д.В.

Высоты $AA_1$, $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$; $B_0$ – середина стороны $AC$. Прямая, проходящая через вершину $B$ параллельно $AC$, пересекает прямые $B_0A_1$, $B_0C_1$ в точках $A'$, $C'$ соответственно. Докажите, что прямые $AA'$, $CC'$, $BH$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 66940

Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
Темы:	[	Поворот помогает решить задачу	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Tran Quang Hung

Дан квадрат $ABCD$ с центром $O$. Из точки $P$, лежащей на меньшей дуге $CD$ описанной около квадрата окружности, проведены касательные к его вписанной окружности, пересекающие сторону $CD$ в точках $M$ и $N$. Прямые $PM$ и $PN$ пересекают отрезки $BC$ и $AD$ соответственно в точках $Q$ и $R$. Докажите, что медиана треугольника $OMN$ из вершины $O$ перпендикулярна отрезку $QR$ и равна его половине.

Прислать комментарий Решение

Задача 66948

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Бакаев Е.В.

Есть набор монет радиусами $1, 2, 3,\ldots, 10$ см. Можно положить две из них на стол так, чтобы они касались друг друга, и добавлять монеты по одной так, чтобы очередная касалась хотя бы двух уже лежащих. Новую монету нельзя класть на старую. Можно ли положить несколько монет так, чтобы центры каких-то трёх монет оказались на одной прямой?

Прислать комментарий Решение

Задача 66943

Темы:	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Tran Quang Hung

В треугольник $ABC$ вписана окружность с центром $I$, касающаяся сторон $CA$, $AB$ в точках $E$, $F$ соответственно. Точки $M$, $N$ на прямой $EF$ таковы, что $CM=CE$ и $BN=BF$. Прямые $BM$ и $CN$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что прямая $PI$ делит пополам отрезок $MN$.

Прислать комментарий Решение

Задача 66942

Темы:	[	ГМТ (прочее)	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Гомотетия (ГМТ)	]
	[	Признаки и свойства касательной	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Кухарчук И.

В угол вписаны три окружности $\Gamma_1$, $\Gamma_2$, $\Gamma_3$ (радиус $\Gamma_1$ наименьший, а радиус $\Gamma_3$ наибольший), притом $\Gamma_2$ касается $\Gamma_1$ и $\Gamma_3$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Пусть $l$ – касательная в точке $A$ к $\Gamma_1$. Рассмотрим все окружности $\omega$, касающиеся $\Gamma_1$ и $l$. Найдите геометрическое место точек пересечения общих внутренних касательных к парам окружностей $\omega$ и $\Gamma_3$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]