Все члены бесконечной арифметической прогрессии – натуральные числа. В каждом члене удалось подчеркнуть одну или несколько подряд идущих цифр так, что в первом члене оказалась подчёркнута цифра 1, во втором – 2,..., в 23-м – цифры 2 и 3 подряд, и так далее (для любого натурального n в n-м члене подчёркнутые цифры образовали число n). Докажите, что разность прогрессии – степень числа 10.

   Решение

Можно ли расставить по кругу числа 1, 2, ..., 60 в таком порядке, чтобы сумма каждых двух чисел, между которыми находится одно число, делилась на 2, сумма каждых двух чисел, между которыми находятся два числа, делилась на 3, сумма каждых двух чисел, между которыми находятся шесть чисел, делилась на 7?

   Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 201]      

Докажите, что числа Ферма  f_n = 2²ⁿ + 1  при  n > 1  не представимы в виде суммы двух простых чисел.

Прислать комментарий

Решение

Пусть P(x) – многочлен ненулевой степени с целыми коэффициентами. Могут ли все числа P(0), P(1), P(2), ... быть простыми?

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что  p_n+1 ≤ 2²ⁿ + 1,  где p_n – n-е простое число.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что для любого простого числа  p > 2  числитель дроби  ^m/_n = ¹/₁ + ¹/₂ + ... + ¹/_p–1  делится на p.

Прислать комментарий

Решение

При помощи задачи 60752 докажите, что существует бесконечно много простых чисел вида  p = 4k + 1.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 201]