Каталог по темам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 181]

Задача 56918

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прямые AP, BP и CP пересекают стороны треугольника ABC (или их продолжения) в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что:
а) прямые, проходящие через середины сторон BC, CA и AB параллельно прямым AP, BP и CP, пересекаются в одной точке;
б) прямые, соединяющие середины сторон BC, CA и AB с серединами отрезков AA₁, BB₁ и CC₁, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 56919

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 5
Классы: 9

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁ так, что отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Прямые A₁B₁ и A₁C₁ пересекают прямую, проходящую через вершину A параллельно стороне BC, в точках C₂ и B₂ соответственно. Докажите, что AB₂ = AC₂.

Прислать комментарий Решение

Задача 56920

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 5
Классы: 9

а) Пусть $\alpha$ , $\beta$ и $\gamma$ — произвольные углы, причем сумма любых двух из них меньше 180^o. На сторонах треугольника ABC внешним образом построены треугольники A₁BC, AB₁C и ABC₁, имеющие при вершинах A, B и C углы $\alpha$ , $\beta$ и $\gamma$ . Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.
б) Докажите аналогичное утверждение для треугольников, построенных на сторонах треугольника ABC внутренним образом.

Прислать комментарий Решение

Задача 56921

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 5
Классы: 9

Стороны BC, CA и AB треугольника ABC касаются окружности с центром O в точках A₁, B₁ и C₁. На лучах OA₁, OB₁ и OC₁ отложены равные отрезки OA₂, OB₂ и OC₂. Докажите, что прямые AA₂, BB₂ и CC₂ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 56922

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прямые AP, BP и CP пересекают прямые BC, CA и AB в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Точки A₂, B₂ и C₂ выбраны на прямых BC, CA и AB так, что $\overline{BA_2}$ : $\overline{A_2C}$ = $\overline{A_1C}$ : $\overline{BA_1}$ , $\overline{CB_2}$ : $\overline{B_2A}$ = $\overline{B_1A}$ : $\overline{CB_1}$ и $\overline{AC_2}$ : $\overline{C_2B}$ = $\overline{C_1B}$ : $\overline{AC_1}$ . Докажите, что прямые AA₂, BB₂ и CC₂ тоже пересекаются в одной точке Q (или параллельны).

Прислать комментарий Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 181]