Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 181]
Из вершины C прямого угла треугольника ABC опущена
высота CK, и в треугольнике ACK проведена биссектриса CE. Прямая,
проходящая через точку B параллельно CE, пересекает CK в
точке F. Докажите, что прямая EF делит отрезок AC пополам.
На прямых BC, CA и AB взяты точки A1, B1 и C1,
причем точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой. Прямые,
симметричные прямым AA1, BB1 и CC1 относительно соответствующих
биссектрис треугольника ABC, пересекают прямые BC, CA и AB в
точках A2, B2 и C2. Докажите, что точки A2, B2 и C2 лежат
на одной прямой.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
Дан треугольник ABC. На прямых AB, BC и CA
взяты точки C1, A1 и B1, причем k из них лежат на сторонах
треугольника и 3 - k — на продолжениях сторон. Пусть
Докажите, что:
а) точки
A1,
B1 и
C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда,
когда
R = 1 и
k четно (Менелай);
б) прямые
AA1,
BB1 и
CC1 пересекаются в одной точке или
параллельны тогда и только тогда, когда
R = 1 и
k нечетно
(Чева).
Вписанная (или вневписанная) окружность
треугольника ABC касается прямых BC, CA и AB в точках A1, B1
и C1. Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются
в одной точке.
Докажите, что высоты остроугольного треугольника
пересекаются в одной точке.
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 181]
Фильтр
