Страница:
<< 66 67 68 69
70 71 72 >> [Всего задач: 416]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Для любого натурального числа n сумма 
делится на 2n–1. Докажите это.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Кузнечик прыгает по отрезку [0,1]. За один прыжок он может попасть
из точки x либо в точку x/31/2, либо в точку
x/31/2+(1-(1/31/2)). На отрезке [0,1] выбрана точка a.
Докажите, что, начиная из любой точки, кузнечик может через несколько
прыжков оказаться на расстоянии меньше 1/100 от точки a.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10
|
Для любых натуральных чисел a1, a2, ..., am, никакие два из которых не равны друг другу и ни одно из которых не делится на квадрат натурального числа, большего единицы, а также для любых целых и отличных от нуля целых чисел b1, b2, ..., bm сумма 
не равна нулю. Докажите это.
На прямоугольном листе бумаги нарисован круг, внутри которого Миша мысленно выбирает
точек, а Коля пытается их разгадать. За одну попытку Коля указывает на листе (внутри или вне круга) одну точку, а Миша сообщает Коле расстояние от нее до ближайшей неразгаданной точки. Если оно оказывается нулевым, то после этого указанная точка считается разгаданной. Коля умеет отмечать на листе точки, откладывать расстояния и производить построения циркулем и линейкой. Может ли Коля наверняка разгадать все выбранные точки менее, чем за (
В стране 2000 городов, некоторые пары городов соединены дорогами. Известно, что через любой город проходит не более N различных несамопересекающихся циклических маршрутов нечётной длины. Докажите, что страну можно разделить на N + 2 республики так, чтобы никакие два города из одной республики не были соединены дорогой.
Фильтр
