Каталог по темам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 127]

Задача 58085

Темы:	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Покрытия	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

В квадрате со стороной 1 находится 51 точка. Докажите, что какие-то три из них можно накрыть кругом радиуса 1/7.

Прислать комментарий Решение

Задача 78291

Темы:	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Круг, сектор, сегмент и проч.	]
	[	Системы точек	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

На плоскости даны 25 точек; известно, что из любых трёх точек можно выбрать две, расстояние между которыми меньше 1. Доказать, что среди данных точек найдутся 13, лежащие в круге радиуса 1.

Прислать комментарий Решение

Задача 78233

Темы:	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
Темы:	[	Круг, сектор, сегмент и проч.	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

В квадрате со стороной 100 расположено N кругов радиуса 1, причём всякий отрезок длины 10, целиком расположенный внутри квадрата, пересекает хотя бы один круг. Доказать, что N $\ge$ 400.

Примечание Problems.Ru: Рассматриваются открытые круги, то есть круги без ограничивающей их окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 58087

Темы:	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Площадь трапеции	]
	[	Отношения площадей (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырехугольника, площади которых относятся как 2 : 3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.

Прислать комментарий Решение

Задача 58088

Темы:	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
Темы:	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]

Сложность: 5
Классы: 7,8,9

В парке растет 10000 деревьев, посаженных квадратно-гнездовым способом (100 рядов по 100 деревьев). Какое наибольшее число деревьев можно срубить, чтобы выполнялось следующее условие: если встать на любой пень, то не будет видно ни одного другого пня? (Деревья можно считать достаточно тонкими.)

Прислать комментарий Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 127]