Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 109]      

Точка K – середина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС. На катетах АС и ВС выбраны точки М и N соответственно так, что угол МKN – прямой. Докажите, что из отрезков АМ, ВN и MN можно составить прямоугольный треугольник.

Прислать комментарий

Решение

В угол вписаны непересекающиеся окружности ω₁ и ω₂. Рассмотрим все такие пары параллельных прямых l₁ и l₂, что l₁ касается ω₁, l₂ касается ω₂ (ω₁, ω₂ находятся между l₁ и l₂). Докажите, что средние линии всех трапеций, образованных прямыми l₁, l₂ и сторонами данного угла, касаются фиксированной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Пусть a и b – натуральные взаимно простые числа. Рассмотрим точки плоскости с целыми координатами  (x, y),  лежащие в полосе  0 ≤ x ≤ b – 1.  Каждой такой точке припишем целое число  N(x, y) = ax + by.
  а) Докажите, что для каждого натурального c существует ровно одна точка  (x, y)  (0 ≤ x ≤ b – 1),  для которой  N(x, y) = c.
  б) Теорема Сильвестра. Докажите, что наибольшее c, для которого уравнение  ax + by = c  не имеет решений в целых неотрицательных числах, имеет вид
c = ab – a – b.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах угла взяты точки A, B. Через середину M отрезка AB проведены две прямые, одна из которых пересекает стороны угла в точках A₁, B₁, другая – в точках A₂ , B₂. Прямые A₁B₂ и A₂B₁ пересекают AB в точках P и Q. Докажите, что M – середина PQ.

Прислать комментарий

Решение

С помощью циркуля и линейки постройте пятиугольник по серединам его сторон.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 109]