Страница:
<< 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 199]
Можно ли доску размерами 4 ×
N обойти ходом коня, побывав на каждом поле ровно один раз, и вернуться на исходное поле?
В центре каждой клетки шахматной доски стоит
по фишке. Фишки переставили так, что попарные расстояния
между ними не уменьшились. Докажите, что в действительности
попарные расстояния не изменились.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
|
На окружности имеются синие и красные точки. Разрешается добавить красную точку и поменять цвета её соседей, а также убрать красную точку и изменить цвета её бывших соседей. Пусть первоначально было всего две красные точки (менее двух точек оставлять не разрешается). Доказать, что за несколько разрешённых операций нельзя получить картину, состоящую из двух синих точек.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
На бесконечной клетчатой бумаге отмечено шесть клеток (см. рисунок).
На некоторых клетках стоят фишки. Положение фишек разрешается преобразовывать
по следующему правилу: если клетки соседняя сверху и соседняя справа от данной фишки обе свободны, то можно поставить в эти клетки по фишке, убрав при этом старую. Ставится цель за некоторое количество таких операций освободить все шесть отмеченных клеток. Можно ли достигнуть этой цели, если
а) в исходной позиции имеются всего 6 фишек, и они стоят на отмеченных клетках;
б) в исходной позиции имеется всего одна фишка, и она стоит в левой нижней отмеченной клетке.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 10,11
|
На доске написаны три функции: f1(x) = x + 1/x, f2(x) = x², f3(x) = (x – 1)². Можно складывать, вычитать и перемножать эти функции (в том числе возводить в квадрат, в куб, ...), умножать их на произвольное число, прибавлять к ним произвольное число, а также проделывать эти операции с полученными выражениями. Получите таким образом функцию 1/x.
Докажите, что если стереть с доски любую из функций f1, f2, f3, то получить 1/x невозможно.
Страница:
<< 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 199]
Фильтр
