Через точку $X$ проведены три луча, образующие друг с другом углы, равные $120^\circ$. Окружность $\omega$ радиуса $R$ выбирается произвольным образом так, чтобы точка $X$ лежала внутри неё. Пусть $A$, $B$, $C$ – точки пересечения лучей с окружностью. Найдите $\max(XA + XB + XC)$.

   Решение

Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$; $A'$, $B'$, $C'$ – ортоцентры треугольников $BIC$, $AIC$, $AIB$; $M_a$, $M_b$, $M_c$ – середины $BC$, $CA$, $AB$, а $S_a$, $S_b$, $S_c$ – середины $AA'$, $BB'$, $CC'$. Докажите, что $M_aS_a$, $M_bS_b$, $M_cS_c$ пересекаются в одной точке.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

Докажите, что если около параллелепипеда можно описать сферу, то этот параллелепипед ─ прямоугольный.

Прислать комментарий

Решение

Известно, что около некоторой призмы можно описать сферу. Докажите, что основание призмы ─ многоугольник, около которого можно описать окружность. Найдите радиус окружности, если высота призмы равна h, а радиус описанной около призмы сферы равен R.

Прислать комментарий

Решение

Найдите ребро куба, вписанного в сферу радиуса R.

Прислать комментарий

Решение

Найдите радиус шара, описанного около правильной n-угольной призмы с высотой h и стороной основания a.

Прислать комментарий

Решение

В сферу радиуса    вписан параллелепипед, объём которого равен 8. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]