Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 117]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109867

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Неравенство Коши ] [ Методы решения задач с параметром ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Рассматриваются такие квадратичные функции  f(x) = ax² + bx + c,  что  a < b  и  f(x) ≥ 0  для всех x.
Какое наименьшее значение может принимать выражение  ^a+b+c/_b–a ?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110070

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Петя и Коля играют в следующую игру: они по очереди изменяют один из коэффициентов a или b квадратного трёхчлена x² + ax + b: Петя на 1, Коля – на 1 или на 3. Коля выигрывает, если после хода одного из игроков получается трёхчлен, имеющий целые корни. Верно ли, что Коля может выиграть при любых начальных целых коэффициентах a и b независимо от игры Пети?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109734

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Производная и касательная ] [ Выпуклость и вогнутость (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Приведенные квадратные трёхчлены  f(x) и g(x) принимают отрицательные значения на непересекающихся интервалах.
Докажите, что найдутся такие положительные числа α и β, что для любого действительного x будет выполняться неравенство αf(x) + βg(x) > 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73641

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Докажите, что если для чисел p₁, p₂, q₁ и q₂ выполнено неравенство  (q₁ – q₂)² + (p₁ – p₂)(p₁q₂ – p₂q₁) < 0,  то квадратные трёхчлены
x² + p₁x + q₁  и  x² + p₂x + q₂  имеют вещественные корни, причём между двумя корнями каждого из них лежит корень другого.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109610

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Монотонность и ограниченность ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Известно, что  f(x), g(x) и h(x) – квадратные трёхчлены. Может ли уравнение  f(g(h(x)))  = 0 иметь корни 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 117]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями