Страница:
<< 244 245 246 247
248 249 250 >> [Всего задач: 1308]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Числовое множество
M , содержащее 2003 различных положительных числа, таково,
что для любых трех различных элементов
a,b,c из
M
число
a2
+bc рационально.
Докажите, что можно выбрать такое натуральное
n , что для любого
a
из
M число
a
рационально.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10,11
|
В классе каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном.
При этом болтун молчит, если в кабинете находится нечетное число его друзей
– молчунов.
Докажите, что учитель может пригласить на факультатив не менее половины
класса так, чтобы все болтуны молчали.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
В наборе из 17 внешне одинаковых монет две фальшивых, отличающихся от остальных по весу. Известно, что суммарный вес двух фальшивых монет вдвое больше веса настоящей. Всегда ли можно ли определить пару фальшивых монет, совершив пять взвешиваний на чашечных весах без гирь? (Определять, какая из фальшивых монет тяжелее, не требуется.)
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
На листке бумаги написаны натуральные числа от 1 до N. Игроки по очереди обводят в кружок одно число, соблюдая условие: любые два уже обведённых
числа должны быть взаимно простыми. Два раза число обводить нельзя. Проигрывает тот, у кого нет хода.
а) Кто – начинающий игру или ходящий вторым – победит при
N = 10?
б) А при N = 12?
в) А при N = 15?
г) А при N = 30?
Можно ли раскрасить натуральные числа в 2009 цветов так, чтобы каждый цвет встречался бесконечное число раз, и не нашлось тройки чисел, покрашенных в
три различных цвета, таких, что произведение двух из них равно третьему?
Страница:
<< 244 245 246 247
248 249 250 >> [Всего задач: 1308]
Фильтр
