Страница:
<< 245 246 247 248
249 250 251 >> [Всего задач: 1340]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
Петя записал на доске натуральное число. Каждую минуту Вася умножает последнее записанное на доску число на 2 или на 3 и записывает результат на доске. Может ли Петя выбрать начальное число так, чтобы в любой момент среди всех записанных на доске чисел количество начинающихся на 1 или 2 было больше, чем количество начинающихся на 7, 8 или 9, как бы ни действовал Вася?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
В городе "Многообразие" живут
n жителей, любые два из которых либо
дружат, либо враждуют между собой. Каждый день не более чем один житель может
начать новую жизнь: перессориться со всеми своими друзьями и подружиться со
всеми своими врагами. Доказать, что все жители могут подружиться.
Примечание. Если
A — друг
B, а
B — друг
C, то
A — также друг
C. Предполагается также, что среди любых троих жителей хотя бы двое дружат между собой.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
|
Фокусник Арутюн и его помощник Амаяк собираются показать следующий фокус.
На доске нарисована окружность. Зрители отмечают на ней 2007 различных точек, затем помощник фокусника стирает одну из них.
После этого фокусник впервые входит в комнату, смотрит на рисунок и отмечает полуокружность, на которой лежала стертая точка.
Как фокуснику договориться с помощником, чтобы фокус гарантированно удался?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 6,7,8,9
|
Компьютер может производить одну операцию: брать среднее арифметическое двух целых чисел. Даны три числа: m, n и 0, причём m и n не имеют общих делителей и m < n. Докажите, что с помощью компьютера из них можно получить
а) единицу;
б) любое целое число от 1 до n.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
У короля Артура два одинаково мудрых советника — Мерлин и Персифаль. Каждый из них находит верный ответ на любой вопрос с вероятностью p или неверный ответ – с вероятностью q = 1 –
p.
Если оба советника говорят одно и то же, король слушается их. Если они говорят противоположное, то король выбирает решение, подбрасывая монету.
Однажды Артур задумался – зачем ему два советника, не хватит ли одного? Тогда король позвал советников и сказал:
– Мне кажется, что вероятность принятия верных решений не уменьшится, если оставлю одного советника и буду его слушаться. Если это так, я должен уволить одного из вас. Если это не так, я оставлю все, как есть. Ответьте
мне, должен ли я уволить одного из вас?
– Кого именно ты собираешься уволить, король Артур? – спросили советники.
– Если я приму решение уволить одного из вас, то сделаю выбор с помощью жребия, бросив монету.
Советники ушли думать над ответом. Советники, повторим, одинаково мудрые, но не одинаково честные. Персифаль очень честен и постарается дать верный ответ, даже если ему грозит увольнение. А Мерлин, честный во всем прочем, в этой ситуации решает дать такой ответ, чтобы вероятность его увольнения была как можно меньше. Какова вероятность того, что Мерлин будет
уволен?
Страница:
<< 245 246 247 248
249 250 251 >> [Всего задач: 1340]
Фильтр
