Страница: 1
2 3 >> [Всего задач: 15]
Четыре прямые образуют четыре треугольника.
а) Докажите, что описанные окружности этих треугольников
имеют общую точку (
точка Микеля).
б) Докажите, что центры описанных окружностей этих
треугольников лежат на одной окружности, проходящей через
точку Микеля.
Точки A', B' и C' – середины сторон соответственно
BC, CA и AB треугольника ABC, а BH – его высота.
Докажите, что если описанные окружности треугольников AHC' и CHA' окружности проходят через точку M, то ∠ABM = ∠CBB'.
Дан треугольник ABC. На прямых AB, BC и CA взяты точки
C1, A1, и B1 соответственно, отличные от вершин
треугольника. Докажите, что окружности, описанные около треугольников
AB1C1,
A1B1C,
A1BC1, пересекаются в одной точке.
Прямая пересекает стороны
AB,
BC и
CA
треугольника (или их продолжения) в точках
C1,
B1 и
A1;
O,
Oa,
Ob и
Oc — центры описанных окружностей треугольников
ABC,
AB1C1,
A1BC1 и
A1B1C;
H,
Ha,
Hb и
Hc — ортоцентры
этих треугольников. Докажите, что:
а)
OaObOc ABC.
б) серединные перпендикуляры к отрезкам
OH,
OaHa,
ObHb и
OcHc
пересекаются в одной точке.
Четырехугольник
ABCD вписанный. Докажите, что
точка Микеля для прямых, содержащих его стороны, лежит на
отрезке, соединяющем точки пересечения продолжений сторон.
Страница: 1
2 3 >> [Всего задач: 15]