Каталог по темам

Выбрано 11 задач

Версия для печати
Убрать все задачи

x ≥ –1, n – натуральное число. Докажите, что (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx.

Решение

Докажите, что каждая сторона четырёхугольника меньше суммы трех других его сторон.

Решение

Пусть AA₁ и BB₁ — медианы треугольника ABC. Докажите, что AA₁ + BB₁ > ${\frac{3}{2}}$ AB.

Решение

Количество перестановок множества из n элементов обозначается P_n. Докажите равенство P_n = n!.

Решение

Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды с боковым ребром b и радиусом R описанной сферы.

Решение

Докажите формулы:

arcsin(- x) = - arcsin x, arccos(- x) = $\displaystyle \pi$ - arccos x.

Решение

На плоскости даны точки O, M и прямая l, проходящая через точку O. Прямую l повернули вокруг точки O против часовой стрелки на угол $\alpha$ , получив прямую l₁. Докажите, что точка, симметричная точке M относительно прямой l₁, получается из точки, симметричной точке M относительно прямой l, поворотом вокруг точки O против часовой стрелки на угол 2 $\alpha$ .

Решение

Дан многочлен с целыми коэффициентами. Если в него вместо неизвестного подставить 2 или 3, то получаются числа, кратные 6.
Докажите, что если вместо неизвестного в него подставить 5, то также получится число, кратное 6.

Решение

Докажите неравенство для положительных значений переменных:

Решение

За круглым столом совещались 2n депутатов. После перерыва эти же 2n депутатов расселись вокруг стола, но уже в другом порядке.
Доказать, что найдутся два депутата, между которыми как до, так и после перерыва сидело одинаковое число человек.

Решение

Автор: Саллинен Е.В.

На каждой стороне параллелограмма взято по точке. Площадь четырёхугольника с вершинами в этих точках равна половине площади параллелограмма. Докажите, что хотя бы одна из диагоналей четырёхугольника параллельна одной из сторон параллелограмма.

Решение

Задача 112386

Задача 112387

Задача 112388

Задача 112389

Задача 112390