Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что связный граф, имеющий не более двух нечётных вершин, можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и проводя каждое ребро ровно один раз.

   Решение

---

Колоду из 52 карт разложили в виде прямоугольника 13×4. Известно, что если две карты лежат рядом по вертикали или горизонтали, то они одной масти либо одного достоинства. Докажите, что в каждом горизонтальном ряду (из 13 карт) все карты одной масти.

   Решение

---

Дан набор, состоящий из таких 1997 чисел, что если каждое число в наборе заменить на сумму остальных, то получится тот же набор.
Докажите, что произведение чисел в наборе равно 0.

   Решение

---

Дан набор, состоящий из таких 100 различных чисел, что если каждое число в наборе заменить на сумму остальных, то получится тот же набор.
Докажите, что произведение чисел в наборе положительно.

   Решение

Страница: << 82 83 84 85 86 87 88 >> [Всего задач: 632]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111691

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Четность и нечетность ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

На столе лежат  N > 2  кучек по одному ореху в каждой. Двое ходят по очереди. За ход нужно выбрать две кучки, где числа орехов взаимно просты, и объединить эти кучки в одну. Выиграет тот, кто сделает последний ход. Для каждого N выясните, кто из играющих может всегда выигрывать, как бы ни играл его противник.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111843

Темы:   [ Обыкновенные дроби ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

На доске написали 100 дробей, у которых в числителях стоят все числа от 1 до 100 по одному разу и в знаменателях стоят все числа от 1 до 100 по одному разу. Оказалось, что сумма этих дробей есть несократимая дробь со знаменателем 2. Докажите, что можно поменять местами числители двух дробей так, чтобы сумма стала несократимой дробью с нечётным знаменателем.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111844

Темы:   [ Выигрышные и проигрышные позиции ] [ Четность и нечетность ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Системы точек и отрезков (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Два игрока по очереди проводят диагонали в правильном (2n+1)-угольнике  (n > 1).  Разрешается проводить диагональ, если она пересекается (по внутренним точкам) с чётным числом ранее проведённых диагоналей (и не была проведена раньше). Проигрывает игрок, который не может сделать очередной ход. Кто выиграет при правильной игре?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116257

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Найдите все такие натуральные числа a и b, что  (a + b²)(b + a²)  является целой степенью двойки.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116590

Темы:   [ Системы точек и отрезков (прочее) ] [ Четность и нечетность ] [ Индукция в геометрии ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

На окружности отмечено 2N точек (N – натуральное число). Известно, что через любую точку внутри окружности проходит не более двух хорд с концами в отмеченных точках. Назовем паросочетанием такой набор из N хорд с концами в отмеченных точках, что каждая отмеченная точка является концом ровно одной из этих хорд. Назовём паросочетание чётным, если количество точек, в которых пересекаются его хорды, чётно, и нечётным иначе. Найдите разность между количеством чётных и нечётных паросочетаний.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 82 83 84 85 86 87 88 >> [Всего задач: 632]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями