На бесконечной шахматной доске проведена замкнутая несамопересекающаяся ломаная, проходящая по сторонам клеток. Внутри ломаной оказалось k чёрных клеток. Какую наибольшую площадь может иметь фигура, ограниченная этой ломаной?

   Решение

Страница: << 69 70 71 72 73 74 75 >> [Всего задач: 1007]      

Дан треугольник ABC. Tочки A₁, B₁ и C₁ симметричны его вершинам относительно противоположных сторон. C₂ – точка пересечения прямых AB₁ и BA₁, точки A₂ и B₂ определяются аналогично. Докажите, что прямые A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ параллельны.

Прислать комментарий

Решение

Bнутри треугольника ABC выбрана произвольная точка M. Докажите, что  MA + MB + MC ≤ max {AB + BC, BC + AC, AC + AB}.

Прислать комментарий

Решение

Даны треугольник ABC и произвольная точка P, A₁, B₁ и C₁  – вторые точки пересечения прямых AP, BP и CP с описанной окружностью треугольника ABC, A₂, B₂ и C₂ – точки, симметричные A₁, B₁ и C₁ относительно прямых BC, CA и AB соответственно. Докажите, что треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ подобны.

Прислать комментарий

Решение

Пусть C₁, A₁, B₁ – такие точки на сторонах соответственно AB, BC, CA треугольника ABC, для которых  BA₁ :  A₁C = p : 1,  CB₁ :  B₁A = q : 1,
AC₁ :  C₁B = r : 1.  Найдите отношение площади треугольника, образованного прямыми AA₁, BB₁ и CC₁, к площади треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

На неравных сторонах AB и AC треугольника ABC внешним образом построены равнобедренные треугольники AC₁B и AB₁C с углом φ при вершине.
  а) M – точка медианы AA₁ (или её продолжения), равноудаленная от точек B₁ и C₁. Докажите, что  ∠B₁MC₁ = φ.
  б) O – точка серединного перпендикуляра к отрезку BC, равноудаленная от точек B₁ и C₁. Докажите, что  ∠B₁OC₁ = 180° – φ.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 69 70 71 72 73 74 75 >> [Всего задач: 1007]