Каталог по темам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 50]

Задача 109792

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Классические неравенства (прочее)	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Неравенства. Метод интервалов	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Берлов С.Л.

Пусть a, b, c – положительные числа, сумма которых равна 1. Докажите неравенство:

Прислать комментарий

Решение

Задача 111043

Темы:	[	Квадратичные неравенства (несколько переменных)	]
	[	Классические неравенства (прочее)	]
	[	Выделение полного квадрата. Суммы квадратов	]
	[	Арифметическая прогрессия	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

Пусть $x_1 \le \dots \le x_n$. Докажите неравенство $$\bigg( \sum \limits_{i,j=1}^n |x_i-x_j|\bigg)^2 \le \frac{2 (n^2-1)}{3} \sum \limits_{i,j=1}^n (x_i-x_j)^2.$$ Докажите, что оно обращается в равенство только если числа $x_1, \dots, x_n$ образуют арифметическую прогрессию.

Прислать комментарий

Решение

Задача 32078

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Перебор случаев	]
	[	Классические неравенства (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Найти все числа, которые в 12 раз больше суммы своих цифр.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57534

Темы:	[	Экстремальные точки треугольника	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим углом	]
	[	Классические неравенства (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC взята точка X, M и N – её проекции на катеты AC и BC.
а) При каком положении точки X длина отрезка MN будет наименьшей?
б) При каком положении точки X площадь четырёхугольника CMXN будет наибольшей?

Прислать комментарий

Решение

Задача 64963

Темы:	[	Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее)	]
	[	Выделение полного квадрата. Суммы квадратов	]
	[	Классические неравенства (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

При каких значениях x и y верно равенство x² + (1 – y)² + (x – y)² = ⅓?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 50]