Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 1282]
Дан треугольник ABC. На его стороне AB
выбирается точка P и через нее проводятся прямые PM и PN,
параллельные AC и BC соответственно (точки M и N лежат
на сторонах BC и AC); Q — точка пересечения описанных
окружностей треугольников APN и BPM. Докажите, что все
прямые PQ проходят через фиксированную точку.
На сторонах треугольника ABC внешним образом
построены треугольники ABC', AB'C и A'BC, причем сумма
углов при вершинах A', B' и C' кратна
180o. Докажите,
что описанные окружности построенных треугольников пересекаются в
одной точке.
а) На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC
(или на их продолжениях) взяты точки A1, B1 и C1, отличные
от вершин треугольника. Докажите, что описанные окружности
треугольников
AB1C1, A1BC1 и A1B1C пересекаются
в одной точке.
б) Точки A1, B1 и C1 перемещаются по прямым BC, CA
и AB так, что все треугольники A1B1C1 подобны одному
и тому же треугольнику. Докажите, что точка пересечения
описанных окружностей треугольников
AB1C1, A1BC1 и A1B1C
остается при этом неподвижной. (Треугольники предполагаются
не только подобными, но и одинаково ориентированными.)
Пусть H — точка пересечения высот
треугольника ABC, а AA' — диаметр его описанной окружности.
Докажите, что отрезок A'H делит сторону BC пополам.
Через вершины A и B треугольника ABC проведены
две параллельные прямые, а прямые m и n симметричны
им относительно биссектрис соответствующих углов.
Докажите, что точка пересечения прямых m и n лежит на
описанной окружности треугольника ABC.
Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 1282]
Фильтр
