Каталог по темам

Задачи

Страница: << 47 48 49 50 51 52 53 >> [Всего задач: 502]

Задача 60315

[Ханойская башня I]

Темы:	[	Индукция (прочее)	]
	[	Классическая комбинаторика (прочее)	]
	[	Рекуррентные соотношения	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

а) Головоломка "Ханойская башня" представляет собой восемь дисков, нанизанных в порядке уменьшения размеров на один из трёх колышков. Требуется переместить всю башню на другой колышек, перенося каждый раз только один диск и не помещая больший диск на меньший. Докажите, что головоломка имеет решение. Какой способ будет оптимальным (по числу перекладываний дисков)?

б) Занумеруем колышки числами 1, 2, 3. Требуется переместить диски с 1-го колышка на 3-й. Сколько понадобится перекладываний, если прямое перемещение диска с 1-го колышка на 3-й и с 3-го на 1-й запрещено (каждое перекладывание должно производиться через 2-й колышек)?

в) Сколько понадобится перекладываний, если в условии пункта а) добавить дополнительное требование: первый (самый маленький) диск нельзя класть на 2-й колышек?

Прислать комментарий

Решение

Задача 60413

Темы:	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Правило произведения	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Многочлены (прочее)	]
	[	Целочисленные решетки (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Докажите тождества:

а)

б)

в)

г)

д)

(Попробуйте доказать эти тождества тремя разными способами: пользуясь тем, что – это количество k-элементных подмножеств в множестве из n элементов; исходя из того, что – это коэффициент при x^k у многочлена (1 + x)ⁿ; пользуясь "шахматным городом" из задачи 60395).

Прислать комментарий

Решение

Задача 60414

[Свойство шестиугольника]

Темы:	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
Темы:	[	Сочетания и размещения	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите равенство

Прислать комментарий

Решение

Задача 60418

Темы:	[	Теория графов (прочее)	]
	[	Сочетания и размещения	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

В компании из 10 человек произошло 14 попарных ссор. Докажите, что все равно можно составить компанию из трёх друзей.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60441

[Беспорядки]

Темы:	[	Формула включения-исключения	]
	[	Перестановки и подстановки	]
	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

В классе 30 учеников. Сколькими способами они могут пересесть так, чтобы ни один не сел на своё место?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 47 48 49 50 51 52 53 >> [Всего задач: 502]