Каталог по темам

Задачи

Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 210]

Задача 116601

Темы:	[	Тригонометрический круг	]
	[	Тригонометрия (прочее)	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Богданов И.И.

Даны различные натуральные числа a, b. На координатной плоскости нарисованы графики функций y = sin ax, y = sin bx и отмечены все точки их пересечения. Докажите, что существует натуральное число c, отличное от a, b и такое, что график функции y = sin cx проходит через все отмеченные точки.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61275

[Метод Виета]

Темы:	[	Уравнения высших степеней (прочее)	]
Темы:	[	Тригонометрия (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Когда 4p³ + 27q² < 0, уравнение x³ + px + q = 0 имеет три действительных корня (неприводимый случай кубического уравнения), но для того, чтобы их найти по формуле Кардано, необходимо использование комплексных чисел. Однако можно указать все три корня в явном виде через тригонометрические функции.
а) Докажите, что при p < 0 уравнение x³ + px + q = 0 заменой x = kt сводится к уравнению 4t³ – 3t – r = 0 (*) от переменной t.
б) Докажите, что при 4p³ + 27q² ≤ 0 решениями уравнения (*) будут числа t₁ = cos, t₂ = cos, t₃ = cos, где φ = arccos r.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61279

Темы:	[	Уравнения высших степеней (прочее)	]
Темы:	[	Тригонометрия (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

а) Докажите, что при 4p³ + 27q² < 0 уравнение x³ + px + q = 0 заменой x = αy + β сводится к уравнению ay³ – 3by² – 3ay + b = 0 (*)
от переменной y.

б) Докажите, что решениями уравнения (*) будут числа y₁ = tg , y₂ = tg , y₃ = tg , где φ определяется из условий:
sin φ = , cos φ = .

Прислать комментарий

Решение

Задача 61286

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
Темы:	[	Тригонометрия (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Последовательность чисел {h_n} задана условиями:

h₁ = $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{2}}$ , h_{n + 1} = $\displaystyle \sqrt{\dfrac{1-\sqrt{1-h_n^2}}2}$ (n $\displaystyle \geqslant$ 1).

Докажите неравенство $\sum\limits_{k=1}^{\infty}$ h_k < 1, 03.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61447

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
Темы:	[	Тригонометрия (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

При помощи преобразования Абеля вычислите следующие суммы:
а) $\sum\limits_{k=1}^{n}$ k²q^{k - 1};
б) $\sum\limits_{k=1}^{n}$ k sin kx;
в) $\sum\limits_{k=1}^{n}$ k²cos kx.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 210]