Страница:
<< 30 31 32 33
34 35 36 >> [Всего задач: 210]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Докажите следующие равенства:
а) 
б) 
в) 
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Значение a подобрано так, что число корней первого из уравнений
4x – 4–x = 2 cos ax, 4x + 4–x = 2 cos ax + 4 равно 2007.
Сколько корней при том же a имеет второе уравнение?
|
[Метод Виета]
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Когда 4p³ + 27q² < 0, уравнение x³ + px + q = 0 имеет три действительных корня (неприводимый случай кубического уравнения), но для того, чтобы их найти по формуле Кардано, необходимо использование комплексных чисел. Однако можно указать все три корня в явном виде через тригонометрические функции.
а) Докажите, что при p < 0 уравнение x³ + px + q = 0 заменой x = kt сводится к уравнению 4t³ – 3t – r = 0 (*) от переменной t.
б) Докажите, что при 4p³ + 27q² ≤ 0 решениями уравнения (*) будут числа t1 = cos
, t2 = cos
, t3 = cos
, где φ = arccos r.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
а) Докажите, что при 4p³ + 27q² < 0 уравнение x³ + px + q = 0 заменой x = αy + β сводится к уравнению ay³ – 3by² – 3ay + b = 0 (*)
от переменной y.
б) Докажите, что решениями уравнения (*) будут числа y1 = tg 
, y2 = tg 
, y3 = tg 
, где φ определяется из условий:
sin φ = 
, cos φ = 
.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Последовательность чисел {
hn} задана условиями:
Докажите неравенство
hk < 1, 03.
Страница:
<< 30 31 32 33
34 35 36 >> [Всего задач: 210]
Фильтр
