Каталог по темам

Задачи

Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 210]

Задача 61235

Темы:	[	Числа Фибоначчи	]
	[	Обратные тригонометрические функции	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Докажите, что числа Фибоначчи {F_n} удовлетворяют соотношению

arcctg F_2n - arcctg F_{2n + 2} = arcctg F_{2n + 1}.

(8.2)

Получите отсюда равенство

arcctg 2 + arcctg 5 + arcctg 13 +...+ arcctg F_{2n + 1} +...= $\displaystyle {\dfrac{\pi}{4}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 79402

Темы:	[	Предел последовательности, сходимость	]
Темы:	[	Тригонометрические неравенства	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Доказать, что последовательность x_n = sin(n²) не стремится к нулю при n, стремящемся к бесконечности.

Прислать комментарий Решение

Задача 61146

[Ряд обратных квадратов]

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
	[	Комплексные числа помогают решить задачу	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

а) Докажите, что при нечётном n > 1 справедливо равенство: = – θ (0 < θ < 1).
б) Докажите тождество: = .

Прислать комментарий

Решение

Задача 61251

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
Темы:	[	Тригонометрия (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Пусть числа u_k определены как и в предыдущей задаче. Докажите тождества:

а) 1 - u₁ + u₂ - u₃ +...+ u_2n = 2ⁿ(1 - cos x)(1 - cos 3x)...(1 - cos(2n - 1)x);

б) 1 - u₁² + u₂² - u₃² +...+ u_2n² = (- 1)ⁿ ${\dfrac{\sin(2n+2)x\cdot \sin(2n+4)x\cdot\ldots \cdot\sin4nx}{\sin 2nx\cdot\sin2(n-1)x\cdot\ldots\cdot\sin 2x}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 110151

Темы:	[	Неравенства для углов треугольника	]
	[	Тригонометрические неравенства	]
	[	Монотонность и ограниченность	]

Сложность: 6+
Классы: 10,11

Автор: Сендеров В.А.

При каких натуральных n для любых чисел α , β , γ , являющихся величинами углов остроугольного треугольника, справедливо неравенство

sin nα + sin nβ + sin nγ<0?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 210]