Версия для печати
Убрать все задачи

---

Существует ли такая бесконечная периодическая последовательность, состоящая из букв a и b, что при одновременной замене всех букв a на aba и букв b на bba она переходит в себя (возможно, со сдвигом)?

   Решение

---

Пусть a_n – число решений уравнения  x₁ + ... + x_k = n   в целых неотрицательных числах и F(x) – производящая функция последовательности a_n.
  а) Докажите равенства:  F(x) = (1 + x + x² + ...)^k = (1 – x)^–k.
  б) Найдите формулу для a_n, пользуясь задачей 61490.

   Решение

---

Докажите, что для всех неотрицательных n выполняются равенства

  а)  

  б)  

   Решение

---

Докажите тождество:

   Решение

---

Вычислите производящие функции следующих последовательностей:
а)     б)  

   Решение

---

В треугольнике ABC взята такая точка O, что  ∠COA = ∠B + 60°,  ∠COB = ∠A + 60°, AOB = ∠C + 60°.  Докажите, что если из отрезков AO, BO и CO можно составить треугольник, то из высот треугольника ABC тоже можно составить треугольник и эти треугольники подобны.

   Решение

---

Найдите все такие натуральные n, что при некоторых различных натуральных a, b, c и d среди чисел

есть по крайней мере два числа, равных n.

   Решение

Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 210]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110151

Темы:   [ Неравенства для углов треугольника ] [ Тригонометрические неравенства ] [ Монотонность и ограниченность ]

Сложность: 6+ Классы: 10,11

При каких натуральных n для любых чисел α , β , γ , являющихся величинами углов остроугольного треугольника, справедливо неравенство

sin nα + sin nβ + sin nγ<0?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107784

Темы:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ] [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ] [ Тригонометрический круг ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Известно число sin α. Какое наибольшее число значений может принимать  а) sin ^α/₂,   б) sin ^α/₃?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108026

Темы:   [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ] [ Площадь четырехугольника ] [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Из вершины A квадрата ABCD со стороной 1 проведены два луча, пересекающие квадрат так, что вершина C лежит между лучами. Угол между лучами равен β. Из вершин B и D проведены перпендикуляры к лучам. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 53823

Темы:   [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Тригонометрические уравнения ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Равнобедренные треугольники ABC  (AB = BC)  и A₁B₁C₁   (A₁B₁ = B₁C₁)  подобны и  AC : A₁C₁ = 5 : .  Вершины A₁ и B₁ расположены соответственно на сторонах AC и BC, а вершина C₁ – на продолжении стороны AB за точку B, причём  A₁B₁ ⊥ BC.  Найдите угол B.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 53824

Темы:   [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Тригонометрические уравнения ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Равнобедренные треугольники ABC  (AB = BC)  и   A₁B₁C₁  (A₁B₁ = B₁C₁)  подобны и  AB : A₁B₁ = 2 : 1.  Вершины A₁, B₁ и C₁ расположены соответственно на сторонах CA, AB и BC, причём   A₁B₁ ⊥ AC.  Найдите угол B.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 210]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями