Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Алгебра и арифметика >> Тригонометрия
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 6 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

В треугольнике KMN проведены высота NA, биссектриса NB и медиана NC, которые делят угол KNM на четыре равные части. Найдите длины высоты NA, биссектрисы NB и медианы NC, если радиус описанной около треугольника KMN окружности равен R.

Вниз   Решение

Автор: Фольклор

У каждого целого числа от  n + 1  до 2n включительно (n – натуральное) возьмём наибольший нечётный делитель и сложим все эти делители.
Докажите, что получится n².

ВверхВниз   Решение

Дан квадрат, две вершины которого лежат на окружности радиуса R, а две другие – на касательной к этой окружности. Найдите диагонали квадрата.

ВверхВниз   Решение

Ключом шифра, называемого "поворотная решетка", является трафарет, изготовленный из квадратного листа клетчатой бумаги размера n×n
(n чётно). Некоторые из клеток вырезаются. Одна из сторон трафарета помечена. При наложении этого трафарета на чистый лист бумаги четырьмя возможными способами (помеченной стороной вверх, вправо, вниз, влево) его вырезы полностью покрывают всю площадь квадрата, причём каждая клетка оказывается под вырезом ровно один раз. Буквы сообщения, имеющего длину n², последовательно вписываются в вырезы трафарета, сначала наложенного на чистый лист бумаги помеченной стороной вверх. После заполнения всех вырезов трафарета буквами сообщения трафарет располагается в следующем положении и т. д. После снятия трафарета на листе бумаги оказывается зашифрованное сообщение.
Найдите число различных ключей для произвольного чётного числа n.

ВверхВниз   Решение

На стороне CB треугольника ABC взята точка M, а на стороне CA – точка P. Известно, что  CP : CA = 2CM : CB.  Через точку M проведена прямая, параллельная CA, а через P – прямая параллельная AB. Докажите, что построенные прямые пересекаются на медиане CN.

ВверхВниз   Решение

Площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равна S. Найдите среднюю линию трапеции, если острый угол при её основании равен $ \alpha$.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 210]      

  с решениями  

Задача 61245

Темы:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Покажите, что из соотношений (8.4) и дополнительных условий 0 < $ \alpha$ < $ \pi$, 0 < $ \beta$ < $ \pi$, 0 < $ \gamma$ < $ \pi$, a > 0, b > 0, c > 0 следуют равенства (8.3 ).

Прислать комментарий     Решение

Задача 61246

Темы:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
[ Теорема косинусов ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Теорема косинусов. Докажите, что соотношения (8.4 ) равносильны системе

a2 = b2 + c2 - 2bc cos$\displaystyle \alpha$,
b2 = a2 + c2 - 2ac cos$\displaystyle \beta$,
c2 = a2 + b2 - 2ab cos$\displaystyle \gamma$,
(8.5)

то есть из существования равенств (8.4 ) вытекает существование равенств (8.5 ) и наоборот.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64894

Темы:   [ Системы тригонометрических уравнений и неравенств ]
[ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Решите систему уравнений:   .

Прислать комментарий     Решение

Задача 65173

Тема:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Найдите     если   .

Прислать комментарий     Решение

Задача 65208

Темы:   [ Тригонометрические уравнения ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Авторы: Бегунц А.В., Горяшин Д.В.

Какое наибольшее количество множителей вида     можно вычеркнуть в левой части уравнения     так, чтобы число его натуральных корней не изменилось?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 210]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .