Каталог по темам

Задачи

Страница: << 33 34 35 36 37 38 39 >> [Всего задач: 258]

Задача 60620

[Теорема Валена]

Темы:	[	Цепные (непрерывные) дроби	]
	[	Приближения чисел	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Докажите, что если ^P_n/_{Q_n} (n ≥ 1) – подходящая дробь к числу α, то имеет место по крайней мере одно из неравенств или Получите отсюда теорему Валена: для любого α найдётся бесконечно много таких дробей ^p/_q, что |α – ^p/_q| < ¹/_2q².

Прислать комментарий

Решение

Задача 60943

Темы:	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Тождественные преобразования	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Докажите, что корни уравнения
а) (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – a)(x – c) = 0;
б) c(x – a)(x – b) + a(x – b)(x – c) + b(x – a)(x – c) = 0
всегда вещественные.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64963

Темы:	[	Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее)	]
	[	Выделение полного квадрата. Суммы квадратов	]
	[	Классические неравенства (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

При каких значениях x и y верно равенство x² + (1 – y)² + (x – y)² = ⅓?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65285

Темы:	[	Дискретное распределение	]
	[	Средние величины	]
	[	Классические неравенства (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Ася и Вася вырезают прямоугольники из клетчатой бумаги. Вася ленивый; он кидает игральную кость один раз и вырезает квадрат, сторона которого равна выпавшему числу очков. Ася кидает кость дважды и вырезает прямоугольник с длиной и шириной, равными выпавшим числам. У кого математическое ожидание площади прямоугольника больше?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65294

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Полуинварианты	]
	[	Неравенство Коши	]
	[	Средние величины	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

В окружность вписан неправильный многоугольник. Если вершина A разбивает дугу, заключенную между двумя другими вершинами, на две неравные части, то такая вершина A называется неустойчивой. Каждую секунду какая-нибудь неустойчивая вершина перепрыгивает в середину своей дуги. В результате каждую секунду образуется новый многоугольник. Докажите, что сколько бы секунд ни прошло, многоугольник никогда не будет равным исходному.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 33 34 35 36 37 38 39 >> [Всего задач: 258]