Версия для печати
Убрать все задачи

---

Для каждого натурального  n > 1  существует такое число c_n, что для любого x произведение синуса числа x, синуса числа  x + ^π/_n,  синуса числа
x + ^2π/_n,  ..., наконец, синуса числа  x + ^{(n – 1)π}/_n  равно произведению числа c_n на синус числа nx. Докажите это и найдите величину c_n.

   Решение

---

В саду у Ани и Вити росло 2006 розовых кустов. Витя полил половину всех кустов, и Аня полила половину всех кустов. При этом оказалось, что ровно три куста, самые красивые, были политы и Аней, и Витей. Сколько розовых кустов остались не политыми?

   Решение

---

Один из простейших многоклеточных организмов — водоросль вольвокс — представляет собой сферическую оболочку, сложенную, в основном, семиугольными, шестиугольными и пятиугольными клетками (то есть клетками, имеющими семь, шесть или пять соседних; в каждой «вершине» сходятся три клетки). Бывают экземпляры, у которых есть и четырёхугольные, и восьмиугольные клетки, но биологи заметили, что если таких «нестандартных» клеток (менее чем с пятью и более чем с семью сторонами) нет, то пятиугольных клеток на 12 больше, чем семиугольных (всего клеток может быть несколько сотен и даже тысяч). Не можете ли вы объяснить этот факт?

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 158]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 53939

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Докажите, что отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC треугольника ABC как на диаметрах, лежит на прямой BC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 53138

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

На сторонах AB, BC, CD, DA прямоугольника ABCD взяты соответственно точки K, L, M, N, отличные от вершин. Известно, что   KL || MN  и
KM ⊥ NL.  Докажите, что точка пересечения отрезков KM и LN лежит на диагонали BD прямоугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 55451  [Теорема Ньютона.]

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Докажите, что во всяком описанном четырёхугольнике середины диагоналей и центр вписанной окружности расположены на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65006

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

На высоте BD треугольника ABC взята такая точка E, что  ∠AEC = 90°.  Точки O₁ и O₂ – центры описанных окружностей треугольников AEB и CEB; F, L – середины отрезков AC и O₁O₂. Докажите, что точки L, E, F лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65846

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Бильярдный стол имеет вид прямоугольника 2×1, в углах и на серединах больших сторон которого расположены лузы. Какое наименьшее число шаров надо расположить внутри прямоугольника, чтобы каждая луза находилась на одной линии с некоторыми двумя шарами?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 158]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями