Страница:
<< 177 178 179 180
181 182 183 >> [Всего задач: 1308]
|
|
Сложность: 6- Классы: 9,10,11
|
На химической конференции присутствовало
k учёных химиков и алхимиков, причём
химиков было больше, чем алхимиков. Известно, что на любой вопрос химики всегда
отвечают правду, а алхимики иногда говорят правду, а иногда лгут. Оказавшийся
на конференции математик про каждого учёного хочет установить, химик тот или
алхимик. Для этого он любому учёному может задать вопрос: ``Кем является
такой-то: химиком или алхимиком?'' (В частности, может спросить, кем
является сам этот учёный.) Доказать, что математик может установить это за: а)
4
k вопросов; б) 2
k - 2 вопросов.
|
|
Сложность: 6- Классы: 9,10,11
|
Игрок на компьютере управляет лисой, охотящейся за двумя зайцами.
В вершине
A квадрата
ABCD находится нора: если в нее, в
отсутствие лисы, попадает хотя бы один заяц, то игра проиграна.
Лиса ловит зайца, как только оказывается с ним в одной точке
(возможно, в точке
A ). Вначале лиса сидит в точке
C , а
зайцы – в точках
B и
D . Лиса бегает повсюду со скоростью не
больше
v , а зайцы – по лучам
AB и
AD со скоростью не
больше 1. При каких значениях
v лиса сможет поймать
обоих зайцев?
|
|
Сложность: 6 Классы: 8,9,10,11
|
В доме из $2^n$ комнат сделали евроремонт. При этом выключатели света оказались перепутанными, так что при включении выключателя в одной комнате загорается лампочка, вообще говоря, в какой-то другой комнате. Чтобы узнать, какой выключатель к какой комнате подсоединён, прораб посылает несколько людей в какие-то комнаты, чтобы те, одновременно включив там выключатели, вернулись и сообщили ему, горела лампочка в их комнате или нет.
а) Докажите, что за $2n$ таких посылок прораб может установить соответствие между выключателями и комнатами.
б) А может ли он обойтись $2n-1$ такими посылками?
|
|
Сложность: 6 Классы: 9,10,11
|
Глеб задумал натуральные числа $N$ и $a$, $a < N$.
Число $a$ он написал на доске.
Затем он начал выполнять следующую операцию: делить $N$ с остатком на последнее выписанное на доску число, а полученный остаток от деления также записывать на доску. Когда на доске появилось число $0$, он остановился. Мог ли Глеб изначально выбрать
такие $N$ и $a$, чтобы сумма выписанных чисел была больше $100 N$?
|
|
Сложность: 6 Классы: 10,11
|
На доске написано несколько чисел. Разрешается стереть любые два числа $a$ и $b$, а затем вместо одного из них написать число $\frac{a+b}{4}$. Какое наименьшее число может остаться на доске после 2018 таких операций, если изначально на ней написано 2019 единиц?
Страница:
<< 177 178 179 180
181 182 183 >> [Всего задач: 1308]