Бился Иван-Царевич со Змеем Горынычем, трёхглавым и трёххвостым. Одним ударом он мог срубить либо одну голову, либо один хвост, либо две головы, либо два хвоста. Но, если срубить один хвост, то вырастут два; если срубить два хвоста – вырастет голова; если срубить голову, то вырастает новая голова, а если срубить две головы, то не вырастет ничего. Как должен действовать Иван-Царевич, чтобы срубить Змею все головы и все хвосты как можно быстрее?

   Решение

Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 234]      

Докажите, что для чисел {x_n} из задачи 61297 можно в явном виде указать разложения в цепные дроби:  x_n+1 = [1;].
Оцените разность  |x_n – |.

Прислать комментарий

Решение

В ячейку памяти компьютера записали число 6. Далее компьютер делает миллион шагов. На шаге номер n он увеличивает число в ячейке на наибольший общий делитель этого числа и n. Докажите, что на каждом шаге компьютер увеличивает число в ячейке либо на 1, либо на простое число.

Прислать комментарий

Решение

Даны две строго возрастающие последовательности положительных чисел, в которых каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. Известно, что каждая последовательность содержит хотя бы одно число, которого нет в другой последовательности. Какое наибольшее количество общих чисел может быть у этих последовательностей?
Замечание к условию. Предполагается, что обе последовательности бесконечны, иначе совпадений, очевидно, может быть сколько угодно (можно взять первые $n$ членов последовательности Фибоначчи 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... как первую последовательность, и члены со второго по $(n+1)$-й — как вторую).

Прислать комментарий

Решение

Целые неотрицательные числа x и y удовлетворяют равенству   x² – mxy + y² = 1   (1)   тогда и только тогда, когда x и y – соседние члены последовательности  (2):  a₀ = 0,  a₁ = 1,  a₂ = m,  a₃ = m² – 1,  a₄ = m³ – 2m,  a₅ = m⁴ – 3m² + 1,  ...,  в которой  a_k+1 = ma_k – a_k–1  для любого  k 0.  Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

На белых клетках бесконечной шахматной доски, заполняющей верхнюю полуплоскость, записаны какие-то числа так, что для каждой чёрной клетки сумма чисел, стоящих в двух соседних с ней клетках – справа и слева, – равна сумме двух других чисел, стоящих в соседних с ней клетках – сверху и снизу. Известно число, стоящее в одной клетке n-й строки (крестик на рисунке), а требуется узнать число, стоящее над ним в (n+2)-й строке (знак вопроса на рисунке). Сколько ещё чисел, стоящих в двух нижних строках (точки на рисунке), нужно для этого знать?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 234]