В вершинах кубика написали числа от 1 до 8, а на каждом ребре – модуль разности чисел, стоящих в его концах. Какое наименьшее количество различных чисел может быть написано на ребрах?

   Решение

На отрезке AC взята точка B и на отрезках AB, BC, CA как на диаметрах построены полуокружности S₁, S₂, S₃ по одну сторону от AC.
Найдите радиус окружности, касающейся всех трёх полуокружностей, если известно, что её центр удален от прямой AC на расстояние a.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 82]      

На биссектрисе угла $B$ внутри треугольника $ABC$ отметили точку $D$. Пусть $\omega_1$ и $\omega_2$ – окружности, касающиеся прямых $AD$ и $CD$ в точке $D$ и проходящие через точку $B$; $P$ и $Q$ – отличные от $B$ точки пересечения $\omega_1$ и $\omega_2$ с описанной окружностью $ABC$. Докажите, что описанные окружности треугольников $PQD$ и $ACD$ касаются.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что инверсия с центром в вершине A равнобедренного треугольника ABC (AB = AC) и степенью AB² переводит основание BC треугольника в дугу BC описанной окружности.

Прислать комментарий

Решение

В сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окружностей. Найдите множество их точек касания.

Прислать комментарий

Решение

Даны три окружности. Первая и вторая пересекаются в точках $A_0$ и $A_1$, вторая и третья – в точках $B_0$ и $B_1$, третья и первая – в точках $C_0$ и $C_1$. Пусть $O_{i,j,k}$ – центр описанной окружности треугольника $A_i B_j C_k$. Через все пары точек вида $O_{i,j,k}$ и $O_{1-i,1-j,1-k}$ провели прямые. Докажите, что эти 4 прямые пересекаются в одной точке или параллельны.

Прислать комментарий

Решение

По окружности $\Omega$ движется точка $P$. На окружности $\Omega$ зафиксированы точки $A$ и $B$. Точка $C$ – произвольная точка внутри круга с границей $\Omega$. Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников $APC$ и $BCP$, пересекаются в точке $Q$. Докажите, что все точки $Q$ лежат на двух фиксированных прямых.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 82]