а) Используя формулу Муавра, докажите, что  cos nx = T_n(cos x),  sin nx = sin x U_n–1(cos x),  где T_n(z) и U_n(z) – многочлены степени n.
При этом по определению  U₀(z) = 1.
б) Вычислите в явном виде эти многочлены для  n = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

  Многочлены T_n(z) и U_n(z) называются многочленами Чебышёва первого и второго рода соответственно.

   Решение

Пусть  z = e^2πi/n = cos ^2π/_n + i sin ^2π/_n.  Для произвольного целого a вычислите суммы
  а)  1 + z^a + z^2a + ... + z^(n–1)a;
  б)  1 + 2z^a + 3z^2a + ... + nz^(n–1)a.

   Решение

Докажите, что

   Решение

Дан треугольник ABC. Точка M, расположенная внутри треугольника, движется параллельно стороне BC до пересечения со стороной CA, затем параллельно AB до пересечения с BC, затем параллельно AC до пересечения с AB и т. д. Докажите, что через некоторое число шагов траектория движения точки замкнется.

   Решение

У трёхгранного угла проведены биссектрисы плоских углов. Доказать, что попарные углы между биссектрисами либо одновременно тупые, либо одновременно прямые, либо одновременно острые.

   Решение

Пусть числа a и b определены равенством  ^a/_b = [a₀; a₁, a₂, ..., a_n].  Докажите, что уравнение  ax – by = 1  c неизвестными x и y имеет решением одну из пар  (Q_n–1, P_n–1)  или  (– Q_n–1, – P_n–1),  где  ^P_n–1/_Qn–1  – (n–1)-я подходящая дробь. От чего зависит, какая именно из пар является решением?

   Решение

В треугольнике ABC из вершины C проведены биссектрисы внутреннего и внешнего углов. Первая биссектриса образует со стороной AB угол, равный 40°. Какой угол образует с продолжением стороны AB вторая биссектриса?

   Решение

64 друга одновременно узнали 64 новости, причём каждый узнал одну новость. Они стали звонить друг другу и обмениваться новостями. Каждый разговор длится 1 час. Какое минимальное количество часов необходимо, чтобы все узнали все новости? (Во время одного разговора можно передать сколько угодно новостей.)

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 204]      

Может ли некоторое сечение куба быть правильным пятиугольником?

Прислать комментарий

Решение

Основание правильной треугольной пирамиды расположено в грани куба, одна из сторон основания совпадает с ребром куба, а вершина пирамиды лежит в противоположной грани куба. Найдите угол боковой грани пирамиды с плоскостью её основания.

Прислать комментарий

Решение

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром a . Точки M и K – середины рёбер AB и CD соответственно. Найдите радиус сферы, проходящей через точки M , K , A1 и C1 .

Прислать комментарий

Решение

В полушар радиуса R вписан куб так, что четыре его вершины лежат на основании полушара, а другие четыре вершины расположены на его сферической поверхности. Найдите объём куба.

Прислать комментарий

Решение

В кубе ABCDA1B1C1D1 , где AA1 , BB1 , CC1 и DD1 – параллельные рёбра, плоскость P проходит через диагональ A1C1 грани куба и середину ребра DD1 . Найдите расстояние от середины ребра CD до плоскости P , если ребро куба равно 4.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 204]