Каталог по темам

Выбрано 13 задач

Треугольники ACC₁ и BCC₁ равны. Их вершины A и B лежат по разные стороны от прямой CC₁.
Докажите, что треугольники ABC и ABC₁ – равнобедренные.

Решение

Автор: Дворянинов С.

На окружности отмечено 100 точек. Может ли при этом оказаться ровно 1000 прямоугольных треугольников, все вершины которых — отмеченные точки?

Решение

Автор: Конягин С.В.

Можно ли разбить множество целых чисел на три подмножества так, чтобы для любого целого значения n числа n, n - 50, n + 1987 принадлежали трём разным подмножествам?

Решение

Докажите, что треугольники abc и a'b'c' собственно подобны, тогда и только тогда, когда

a'(b - c) + b'(c - a) + c'(a - b) = 0.

Решение

Пусть A — произвольный угол, B и C — острые углы. Всегда ли существует такой угол X, что

sin X = $\displaystyle {\frac{\sin B\sin C}{1-\cos A\cos B\cos C}}$ ?

(Из `` Воображаемой геометрии'' Н. И. Лобачевского).

Решение

Автор: Заславский А.А.

На одной из медиан треугольника $ABC$ нашлась такая точка $P$, что $\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA$. Докажите, что на другой медиане найдется такая точка $Q$, что $\angle QBA=\angle QCB=\angle QAC$.

Решение

Автор: Колосов В.

Пусть x, y, z – любые числа из интервала (0, ^π/₂). Докажите неравенство

Решение

На плоскости даны три попарно пересекающиеся окружности. Через точки пересечения каждых двух из них проведена прямая.
Докажите, что эти три прямые пересекаются в одной точке или параллельны.

Решение

Автор: Агаханов Н.Х.

Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество A, состоящее из действительных чисел, полным, если для любых действительных a и b (не обязательно различных и не обязательно лежащих в A), при которых a + b лежит в A, число ab также лежит в A. Найдите все полные множества действительных чисел.

Решение

С помощью одного циркуля постройте окружность, проходящую через три данные точки.

Решение

Докажите, что прямая, проходящая через точки a₁ и a₂, задаётся уравнением

z( $\displaystyle \bar{a}_{1}^{}$ - $\displaystyle \bar{a}_{2}^{}$ ) - $\displaystyle \bar{z}$ (a₁ - a₂) + (a₁ $\displaystyle \bar{a}_{2}^{}$ - $\displaystyle \bar{a}_{1}^{}$ a₂) = 0.

Решение

Пусть $\angle$ A < $\angle$ B < $\angle$ C < 90^o. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника ABC лежит внутри треугольника BOH, где O — центр описанной окружности, H — точка пересечения высот.

Решение

Назовем натуральное число "изумительным", если оно имеет вид a^b + b^a (где a и b - натуральные числа). Например, число 57 - изумительное, так как 57 = 2⁵ + 5². Является ли изумительным число 2006?

Решение

Задача 98696

Задача 102989

Задача 104041

Задача 35609

Задача 104039