Тема:
Все темы
>>
Комбинаторика
>>
Классическая комбинаторика
>>
Перестановки и подстановки
>>
Перестановки и подстановки (прочее)
Фильтр
Выбрано 15 задач Убрать все задачи
Отрезок AL является биссектрисой треугольника ABC . Окружность радиуса 3 проходит через вершину A , касается стороны BC в точке L и пересекает сторону AB в точке K . Найдите угол BAC и площадь треугольника ABC , если BC=4 , AK:LB=3:2 .
На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты
точки A1, B1 и C1; прямые B1C1, BB1 и CC1 пересекают
прямую AA1 в точках M, P и Q соответственно. Докажите, что:
а)
A1M/MA = (A1P/PA) + (A1Q/QA);
б) если P = Q, то
MC1 : MB1 = (BC1/AB) : (CB1/AC).
Докажите, что если x1, x2, x3 – корни уравнения x³ + px + q = 0, то
Восстановите вписанно-описанный четырёхугольник $ABCD$ по серединам дуг $AB$, $BC$, $CD$ его описанной окружности.
Докажите, что если две биссектрисы треугольника равны, то он равнобедренный.
Решите уравнение x³ + x – 2 = 0 подбором и по формуле Кардано.
Найдите все действительные значения a и b, при которых уравнения x³ + ax² + 18 = 0, x³ + bx + 12 = 0 имеют два общих корня, и определите эти корни.
Даны точки
A1,..., An. Рассмотрим окружность
радиуса R, содержащую некоторые из них. Построим затем
окружность радиуса R с центром в центре масс точек,
лежащих внутри первой окружности, и т. д. Докажите, что
этот процесс остановится, т. е. окружности начнут совпадать.
Докажите, что существуют равновеликие многоугольники, которые
нельзя разбить на многоугольники (возможно, невыпуклые),
переводящиеся друг в друга параллельным переносом.
Придумайте многогранник, у которого нет трех граней с одинаковым числом сторон.
Изобразите на фазовой плоскости Opq множества точек (p, q), для которых уравнение x³ + px + q = 0 имеет
а) один корень; б) два корня; в) три различных корня; г) три совпадающих корня.
Выпишите уравнение, корнем которого будет число
Запишите число α без помощи радикалов.
Этот метод позволяет решать произвольное уравнение 4-й степени путем сведения его к решению вспомогательного кубического уравнения и двух квадратных
уравнений.
а) Докажите, что любое уравнение 4-й степени можно привести к виду
x4 = Ax² + Bx + C. (*)
б) Введём действительный параметр α и перепишем уравнение (*) в виде x4 + 2αx² + α² = (A + 2α)x² + Bx + (C + α²). (**)
Докажите, что для некоторого α > – A/2 правая часть равенства (**) превращается в полный квадрат.
в) Пользуясь равенством (**), опишите метод нахождения корней уравнения (*).
Решите уравнения
а) x³ – 3x – 1 = 0;
б) x³ – 3x – = 0.
Укажите в явном виде все корни этих уравнений.
В забеге от Воробьёвых гор до Красной площади приняли участие три спортсмена. Сначала стартовал Гриша, затем – Саша, и последней – Лена. После финиша выяснилось, что во время забега Гриша обгонял других 10 раз, Лена – 6 раз, Саша – 4 раза, причём все трое ни разу не оказывались в одной точке одновременно. В каком порядке финишировали спортсмены, если известно, что они пришли к финишу в разное время?
Задачи Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 61]
Задача 104045 |
|
|
а) Сколькими способами Дима сможет покрасить пять ёлок в серебристый, зеленый и синий цвета, если количество краски у него неограничено, а каждую ёлку он красит только в один цвет?
б) У Димы есть пять шариков: красный, зеленый, желтый, синий и золотой. Сколькими способами он сможет украсить ими пять ёлок, если на каждую требуется надеть ровно один шарик?
в) А если можно надевать несколько шариков на одну ёлку (и все шарики должны быть использованы)?
|
|
Решение |
Задача 104073 |
|
|
В забеге от Воробьёвых гор до Красной площади приняли участие три спортсмена. Сначала стартовал Гриша, затем – Саша, и последней – Лена. После финиша выяснилось, что во время забега Гриша обгонял других 10 раз, Лена – 6 раз, Саша – 4 раза, причём все трое ни разу не оказывались в одной точке одновременно. В каком порядке финишировали спортсмены, если известно, что они пришли к финишу в разное время?
|
|
Решение |
Задача 60400[Полиномиальная теорема] |
|
|
Докажите, что в равенстве (x1 + ... + xm)n = коэффициенты C(k1,..., km) могут быть найдены по формуле
|
|
|
Решение |
Задача 30741 |
|
|
а) Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 (цифры могут повторяться).
б) Найдите сумму всех семизначных чисел, которые можно получить всевозможными перестановками цифр 1, ..., 7.
|
|
|
Решение |
Задача 30749 |
|
|
Имеется куб размером 10×10×10, состоящий из маленьких единичных кубиков. В центре O одного из угловых кубиков сидит кузнечик. Он может прыгать в центр кубика, имеющего общую грань с тем, в котором кузнечик находится в данный момент; причём так, чтобы расстояние до точки O увеличивалось. Сколькими способами кузнечик может допрыгать до кубика, противоположного исходному?
|
|
|
Решение |
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 61]
