Каталог по темам

Задачи

Страница: << 137 138 139 140 141 142 143 >> [Всего задач: 1221]

Задача 105131

Темы:	[	Разные задачи на разрезания	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Гальперин Г.А.

Остроугольный треугольник разрезали прямолинейным разрезом на две (не обязательно треугольные) части, затем одну из этих частей – опять на две части, и так далее: на каждом шаге выбирали любую из уже имеющихся частей и разрезали её (по прямой) на две. Через несколько шагов оказалось, что исходный треугольник распался на несколько треугольников. Могут ли все они быть тупоугольными?

Прислать комментарий

Решение

Задача 105177

Темы:	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Инварианты	]
	[	Произвольные многоугольники	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

Бильярдный стол имеет форму многоугольника (не обязательно выпуклого), у которого соседние стороны перпендикулярны друг другу. Вершины этого многоугольника – лузы, при попадании в которые шар там и остаётся. Из вершины A с (внутренним) углом 90° выпущен шар, который отражается от бортов (сторон многоугольника) по закону "угол падения равен углу отражения". Докажите, что он никогда не вернётся в вершину A.

Прислать комментарий

Решение

Задача 107633

Темы:	[	Взвешивания	]
Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10

Антиквар приобрёл 99 одинаковых по виду старинных монет. Ему сообщили, что ровно одна из монет — фальшивая — легче настоящих (а настоящие весят одинаково). Как, используя чашечные весы без гирь, за 7 взвешиваний выявить фальшивую монету, если антиквар не разрешает никакую монету взвешивать более двух раз ?

Прислать комментарий Решение

Задача 107831

Темы:	[	Турниры и турнирные таблицы	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Френкин Б.Р.

2n шахматистов дважды провели круговой турнир (за победу начисляется одно очко, за ничью – ½, за поражение – 0).
Докажите, что если сумма очков каждого изменилась не менее чем на n, то она изменилась ровно на n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108739

Темы:	[	Задачи с ограничениями	]
Темы:	[	Перебор случаев	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9

На окружной железной дороге n станций. Иногда дежурные по станциям связываются друг с другом по радио. В каждый момент времени сеанс связи ведут только два человека. За сутки между каждыми двумя станциями произошёл ровно один радиосеанс. Для каждой станции (если учесть только её сеансы) оказалось, что она общалась с другими станциями по очереди в порядке их расположения на железной дороге (по или против часовой стрелки, у разных станций эти направления могут быть разными), начиная с одной из соседних и заканчивая другой. Чему может равняться n?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 137 138 139 140 141 142 143 >> [Всего задач: 1221]