Каталог по темам

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 42]

Задача 109780

Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Тождественные преобразования	]
	[	Теория множеств (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Агаханов Н.Х.

Числовое множество M , содержащее 2003 различных положительных числа, таково, что для любых трех различных элементов a,b,c из M число a2+bc рационально. Докажите, что можно выбрать такое натуральное n , что для любого a из M число a рационально.

Прислать комментарий Решение

Задача 109851

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
Темы:	[	Тождественные преобразования	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Авторы: Берлов С.Л., Богданов И.И.

Докажите, что найдутся четыре таких целых числа a, b, c, d, по модулю больших 1000000, что ¹/_a + ¹/_b + ¹/_c + ¹/_d = ¹/_abcd.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56892

Темы:	[	Треугольники (прочее)	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Тождественные преобразования	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

На сторонах треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁ так, что AB₁ : B₁C = cⁿ : aⁿ, BC₁ : C₁A = aⁿ : bⁿ и CA₁ : A₁B = bⁿ : cⁿ (a, b, c – длины сторон треугольника). Описанная окружность треугольника A₁B₁C₁ высекает на сторонах треугольника ABC отрезки длиной ±x, ±y и ±z (знаки выбираются в соответствии с ориентацией треугольника). Докажите, что

Прислать комментарий

Решение

Задача 107816

Темы:	[	Многочлены Чебышева	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Тождественные преобразования	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Куликов Е.Ю.

Найдите какой-нибудь многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является число + .

Прислать комментарий

Решение

Задача 107843

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Замена переменных	]
	[	Тождественные преобразования	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Авторы: Гальперин Г.А., Смоляков А.Н.

Положительные числа a, b и c таковы, что abc = 1. Докажите неравенство

≤ 1.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 42]