Каталог по темам

Задачи

Страница: << 40 41 42 43 44 45 46 >> [Всего задач: 258]

Задача 109530

Темы:	[	Иррациональные неравенства	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Карасев Р.

Докажите, что для любого натурального n > 2 число делится на 8.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109540

Темы:	[	Иррациональные неравенства	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Классические неравенства (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Жуховицкий В.

Докажите, что

Прислать комментарий

Решение

Задача 109824

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Куликов Е.Ю.

В таблице 2×n расставлены положительные числа так, что в каждом из n столбцов сумма двух чисел равна 1.
Докажите, что можно вычеркнуть по одному числу в каждом столбце так, чтобы в каждой строке сумма оставшихся чисел не превосходила ⁿ⁺¹/₄.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108483

Темы:	[	Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.	]
	[	Формула Герона	]
	[	Неравенство Коши	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Докажите, что из всех треугольников данной площади равносторонний имеет наименьший периметр.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57538

Темы:	[	Экстремальные точки треугольника	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Неравенство Коши	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Внутри треугольника ABC взята точка O. Пусть d_a, d_b, d_c – расстояния от нее до прямых BC, CA, AB.
При каком положении точки O произведение d_ad_bd_c будет наибольшим?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 40 41 42 43 44 45 46 >> [Всего задач: 258]