ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Четырехугольники >> Трапеции >> Замечательное свойство трапеции
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 2 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Обозначим через S сумму следующего ряда:

S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -... (12.1)

Преобразовав равенство (12.1 ), можно получить уравнение, из которого находится S:

S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 +...) = 1 - S $\displaystyle \Rightarrow$ S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$.

Сумму S можно также найти объединяя слагаемые ряда (12.1 ) в пары:

S = (1 - 1) + (1 - 1) +...= 0 + 0 +...= 0;
S = 1 - (1 - 1) - (1 - 1) -...= 1 - 0 - 0 -...= 1.

Наконец, переставив местами соседние слагаемые, получаем еще одно значение S:

S = - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +...= - 1 + (1 - 1) + (1 - 1) +...= - 1.

Итак, действуя четырьмя разными способами, мы нашли четыре значения суммы S:

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ = 0 = 1 = - 1.

Какое же значение имеет сумма S в действительности?

Вниз   Решение

Точка M – середина стороны AC треугольника ABC . На отрезке AM выбрана точка K , на отрезке BM – точка L , на отрезке BK – точка N . При этом KL || AB , MN || BC , CL = 2KM . Докажите, что CN – биссектриса угла ACL .

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 34]      

  с решениями  

Задача 110861

Темы:   [ Замечательное свойство трапеции ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Различные параллелограммы ABCD и AKLD расположены так, что их стороны BC и KL лежат на одной прямой, причём прямые AC и KD не параллельны. Докажите, что точка пересечения прямых AK и DC, точка пересечения прямых AB и DL, а также точка пересечения прямых AC и KD лежат на одной прямой.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115328

Темы:   [ Замечательное свойство трапеции ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Пусть BL – биссектриса треугольника ABC. Внутри треугольника BLC нашлась такая точка P, что  ∠BPC = 90°  и  ∠LPC + ∠LBC = 180°.  Точка O – центр описанной окружности треугольника LPB. Докажите, что прямые CO, BL и AM, где M – середина стороны BC, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 102439

Темы:   [ Замечательное свойство трапеции ]
[ Перенос стороны, диагонали и т.п. ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

В четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Точки L и M являются соответственно серединами сторон BC и AD. Отрезок LM содержит точку K. Четырёхугольник ABCD таков, что в него можно вписать окружность. Найдите радиус этой окружности, если AB = 3, AC = $ \sqrt{13}$ и LK : KM = 1 : 3.

Прислать комментарий     Решение

Задача 102440

Темы:   [ Замечательное свойство трапеции ]
[ Перенос стороны, диагонали и т.п. ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

В четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Точки L и M являются соответственно серединами сторон BC и AD. Отрезок LM содержит точку K. Четырёхугольник ABCD таков, что в него можно вписать окружность. Найдите радиус этой окружности, если AB = 2, BD = 2$ \sqrt{5}$ и LK : KM = 1 : 3.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108668

Темы:   [ Замечательное свойство трапеции ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Средняя линия треугольника ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Точка M – середина стороны AC треугольника ABC . На отрезке AM выбрана точка K , на отрезке BM – точка L , на отрезке BK – точка N . При этом KL || AB , MN || BC , CL = 2KM . Докажите, что CN – биссектриса угла ACL .
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 34]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .