Каталог по темам

Задачи

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 203]

Задача 107824

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Шаповалов А.В.

а) Докажите, что существует натуральное число, которое при замене любой тройки соседних цифр на произвольную тройку остаётся составным.
б) Существует ли такое 1997-значное число?

Прислать комментарий

Решение

Задача 109485

Темы:	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Перебор случаев	]
	[	Простые числа и их свойства	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Бегунц А.В.

Каким может быть произведение нескольких различных простых чисел, если оно кратно каждому из них, уменьшенному на 1?
Найдите все возможные значения этого произведения.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67023

Темы:	[	Многоугольники (прочее)	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Комбинаторика (прочее)	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Белухов Н.

Даны выпуклый многоугольник $M$ и простое число $p$. Оказалось, что существует ровно $p$ способов разбить $M$ на равносторонние треугольники со стороной 1 и квадраты со стороной 1.
Докажите, что длина одной из сторон многоугольника $M$ равна $p$ – 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109854

Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Простые числа и их свойства	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Мурашкин М.В.

Пусть a₁, a₂, ..., a₁₀ – натуральные числа, a₁ < a₂ < ... < a₁₀. Пусть b_k – наибольший делитель a_k, меньший a_k. Оказалось, что b₁ > b₂ > ... > b₁₀.
Докажите, что a₁₀ > 500.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111865

Темы:	[	Квадратные уравнения. Теорема Виета	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Подлипский О.К.

Числа от 51 до 150 расставлены в таблицу 10×10. Может ли случиться, что для каждой пары чисел a, b, стоящих в соседних по стороне клетках, хотя бы одно из уравнений x² – ax + b = 0 и x² – bx + a = 0 имеет два целых корня?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 203]