Каталог по темам

Задачи

Страница: << 83 84 85 86 87 88 89 >> [Всего задач: 737]

Задача 109550

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Свойства модуля. Неравенство треугольника	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Авторы: Богопольский О., Фон-дер-Флаас Д.

На доске написано число 0. Два игрока по очереди приписывают справа к выражению на доске: первый – знак + или - , второй – одно из натуральных чисел от 1 до 1993. Игроки делают по 1993 хода, причем второй записывает каждое из чисел от 1 до 1993 ровно по одному разу. В конце игры второй игрок получает выигрыш, равный модулю алгебраической суммы, написанной на доске. Какой наибольший выигрыш он может себе гарантировать?

Прислать комментарий Решение

Задача 109637

Темы:	[	Взвешивания	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Линейные неравенства и системы неравенств	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Фон-дер-Флаас Д.

На столе лежат две кучки монет. Известно, что суммарный вес монет из первой кучки равен суммарному весу монет из второй кучки, а для каждого натурального числа k, не превосходящего числа монет как в первой, так и во второй кучке, суммарный вес k самых тяжелых монет из первой кучки не больше суммарного веса k самых тяжелых монет из второй кучки. Докажите, что если заменить каждую монету, вес которой не меньше x, на монету веса x (в обеих кучках), то первая кучка монет окажется не легче второй, каково бы ни было положительное число x.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109691

Тема:

[

Теория игр (прочее)

]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10

Автор: Бахарев Ф.

На столе стоят три пустых банки из-под меда. Винни-Пух, Кролик и Пятачок по очереди кладут по одному ореху в одну из банок. Их порядковые номера до начала игры определяются жребием. При этом Винни может добавлять орех только в первую или вторую банку, Кролик – только во вторую или третью, а Пятачок – в первую или третью.
Тот, после чьего хода в какой-нибудь банке оказалось ровно 1999 орехов, проигрывает.
Докажите, что Винни-Пух и Пятачок могут, договорившись, играть так, чтобы Кролик проиграл.

Прислать комментарий Решение

Задача 109718

Темы:	[	Взвешивания	]
	[	Сочетания и размещения	]
	[	Перестановки и подстановки (прочее)	]
	[	Математическая логика (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Подлипский О.К.

Имеются пять внешне одинаковых гирь с попарно различными массами. Разрешается выбрать любые три из них A, B и C и спросить, верно ли, что
m(A) < m(B) < m(C) (через m(x) обозначена масса гири x). При этом даётся ответ "Да" или "Нет". Можно ли за девять вопросов гарантированно узнать, в каком порядке идут веса гирь?

Прислать комментарий

Решение

Задача 109895

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Целочисленные решетки (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Шестиугольники	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Автор: Дужин Ф.С.

В одном из узлов шестиугольника со стороной n , разбитого на правильные треугольники (см. рис.) , стоит фишка. Двое играющих по очереди передвигают ее в один из соседних узлов, причем запрещается ходить в узел, в котором фишка уже побывала. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто выигрывает при правильной игре?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 83 84 85 86 87 88 89 >> [Всего задач: 737]