Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть a, b, c – длины сторон произвольного треугольника; p – полупериметр; r – радиус вписанной окружности. Докажите неравенство

   Решение

---

Квадрат разрезан на несколько (больше одного) выпуклых многоугольников с попарно различным числом сторон.
Докажите, что среди них есть треугольник.

   Решение

---

Известно, что  tg α + tg β = p,  ctg α + ctg β = q.  Найдите   tg(α + β).

   Решение

---

Во всех рациональных точках действительной прямой расставлены целые числа.
Докажите, что найдётся такой отрезок, что сумма чисел на его концах не превосходит удвоенного числа в его середине.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 95]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61015

Тема:   [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Докажите, что cos 20^o — число иррациональное.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64767

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

В республике математиков выбрали число  α > 2  и выпустили монеты достоинствами в 1 рубль, а также в α^k рублей при каждом натуральном k. При этом α было выбрано так, что достоинства всех монет, кроме самой мелкой, иррациональны. Могло ли оказаться, что любую сумму в натуральное число рублей можно набрать этими монетами, используя монеты каждого достоинства не более 6 раз?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98579

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Существуют ли такие иррациональные числа a и b, что  a > 1,  b > 1,  и  [a^m]  отлично от  [bⁿ]  при любых натуральных числах m и n?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109685

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Доказательство от противного ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Во всех рациональных точках действительной прямой расставлены целые числа.
Докажите, что найдётся такой отрезок, что сумма чисел на его концах не превосходит удвоенного числа в его середине.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109780

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Тождественные преобразования ] [ Теория множеств (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Числовое множество M , содержащее 2003 различных положительных числа, таково, что для любых трех различных элементов a,b,c из M число a2+bc рационально. Докажите, что можно выбрать такое натуральное n , что для любого a из M число a рационально.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 95]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями