Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что не существует конечного множества, содержащего более 2N ( N>3 ) попарно неколлинеарных векторов на плоскости, обладающего следующими двумя свойствами.

1. Для любых N векторов этого множества найдется еще такой N-1 вектор из этого множества, что сумма всех 2N-1 векторов равна нулю;
2. для любых N векторов этого множества найдутся еще такие N векторов из этого множества, что сумма всех 2N векторов равна нулю.

   Решение

Страница: << 61 62 63 64 65 66 67 >> [Всего задач: 488]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78166

Темы:   [ Сочетания и размещения ] [ Принцип крайнего ] [ Подсчет двумя способами ] [ Теория множеств (прочее) ]

Сложность: 5+ Классы: 10,11

В школе изучают 2n предметов. Все ученики учатся на 4 и 5. Никакие два ученика не учатся одинаково, ни про каких двух нельзя сказать, что один из них учится лучше другого. Доказать, что число учеников в школе не больше   .
(Мы считаем, что ученик p учится лучше ученика q, если у p оценки по всем предметам не ниже, чем у q, а по некоторым предметам – выше.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109898

Темы:   [ Взвешивания ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]

Сложность: 5+ Классы: 7,8,9,10

Имеется 8 монет, 7 из которых – настоящие, которые весят одинаково, и одна фальшивая, отличающаяся по весу от остальных. Чашечные весы без гирь таковы, что если положить на их чашки равные грузы, то любая из чашек может перевесить, если же грузы различны по массе, то обязательно перетягивает чашка с более тяжелым грузом. Как за четыре взвешивания наверняка определить фальшивую монету и установить, легче она или тяжелее остальных?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115509

Темы:   [ Теория графов (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Перестройки ] [ Доказательство от противного ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

На плоскости отметили 4n точек, после чего соединили отрезками все пары точек, расстояние между которыми равно 1 см. Оказалось, что среди любых  n + 1  точек обязательно есть две, соединённые отрезком. Докажите, что всего проведено не менее 7n отрезков.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109722

Темы:   [ Индукция в геометрии ] [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Раскраски ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10,11

На прямоугольном столе лежат равные картонные квадраты n различных цветов со сторонами, параллельными сторонам стола. Если рассмотреть любые n квадратов различных цветов, то какие-нибудь два из них можно прибить к столу одним гвоздем. Докажите, что все квадраты некоторого цвета можно прибить к столу 2n-2 гвоздями.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109799

Темы:   [ Вспомогательные проекции ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Системы точек и отрезков (прочее) ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Докажите, что не существует конечного множества, содержащего более 2N ( N>3 ) попарно неколлинеарных векторов на плоскости, обладающего следующими двумя свойствами.

1. Для любых N векторов этого множества найдется еще такой N-1 вектор из этого множества, что сумма всех 2N-1 векторов равна нулю;
2. для любых N векторов этого множества найдутся еще такие N векторов из этого множества, что сумма всех 2N векторов равна нулю.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 61 62 63 64 65 66 67 >> [Всего задач: 488]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями